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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 放缩与相似形 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
2．（2023·东洲模拟）下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·沭阳期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·龙泉驿期末）下列各组图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
5．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
6．（2023九上·府谷期末）下列各组图形中一定相似的是（ ）.
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
7．（2022九上·聊城期末）下列图形一定是相似图形（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
8．（2023九下·深圳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，连接CD，若∠ACD=2∠B，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·无锡）下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
10．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
11．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ．
12．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号）
13．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；（填序号）
与图形（3）相似的有 ．（填序号）
三、综合题
14．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
15．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形状相同的图形叫相似图形，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故A不符合题意；
B、两个正方形一定相似，故B符合题意；
C、两个菱形不一定相似，故C不符合题意；
D、两个矩形不一定相似，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】等腰梯形不一定相似，可对A作出判断；正方形的四个角相等，四条边相等，所有的正方形都相似，可对B作出判断；菱形的四边相等，两个菱形不一定相似，可对C作出判断；矩形的四个角相等，两个矩形不一定相似，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似.
故答案为：B.
【分析】根据各边对应成比例的两个图形为相似图形进行判断.
6．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
B、任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，符合题意；
C、任意两个两个菱形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个矩形的对应边的比不一定成比例，但对应角相等，故不一定相似，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似图形的概念进行判断.
7．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
C、两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。
8．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】
取AB中点为点E
设∠B=，则∠ACD=2∠B=2
设AD=x
又∵
∴BD=4x
∵E为AB中点
∴∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO
∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC
∴
∴
又∵AC=5xsin，AE=2.5x
∴
∴sin=
cos=
BC=
在中，
解得CD=
∴
故答案为：B
【分析】取AB中点，设∠B=，则∠ACD=2∠B=2设AD=x，BD=4x根据∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO，得出；根据AC=5xsin，AE=2.5x，得出，进而得出sin=，cos=，BC=，在中，，解得CD=
因此，
9．【答案】①
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
10．【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
11．【答案】①②⑤
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①两个正三角形相似，正确；
②两个等腰直角三角形相似，正确；
③两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；
④两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本小题错误；
⑤两个正方形相似，正确；
综上所述，正确的结论是①②⑤．
故答案为：①②⑤
【分析】根据相似图形的定义，可得知图形是否相似。
12．【答案】③④
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故不符合题意；
②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不符合题意；
③两个等边三角形一定相似；
④两个正方形一定相似；
⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意，
故答案为：③④
【分析】根据相似图形的性质判断。
13．【答案】a；d；g
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
【分析】观察给出的图形，根据相似图形的定义可求解。
14．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
15．【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；相似图形
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 放缩与相似形 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
2．（2023·东洲模拟）下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐项判断即可。
3．（2023九上·沭阳期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形状相同的图形叫相似图形，据此判断.
4．（2023九上·龙泉驿期末）下列各组图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故A不符合题意；
B、两个正方形一定相似，故B符合题意；
C、两个菱形不一定相似，故C不符合题意；
D、两个矩形不一定相似，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】等腰梯形不一定相似，可对A作出判断；正方形的四个角相等，四条边相等，所有的正方形都相似，可对B作出判断；菱形的四边相等，两个菱形不一定相似，可对C作出判断；矩形的四个角相等，两个矩形不一定相似，可对D作出判断.
5．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似.
故答案为：B.
【分析】根据各边对应成比例的两个图形为相似图形进行判断.
6．（2023九上·府谷期末）下列各组图形中一定相似的是（ ）.
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
B、任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，符合题意；
C、任意两个两个菱形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个矩形的对应边的比不一定成比例，但对应角相等，故不一定相似，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似图形的概念进行判断.
7．（2022九上·聊城期末）下列图形一定是相似图形（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
C、两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。
8．（2023九下·深圳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，连接CD，若∠ACD=2∠B，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】
取AB中点为点E
设∠B=，则∠ACD=2∠B=2
设AD=x
又∵
∴BD=4x
∵E为AB中点
∴∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO
∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC
∴
∴
又∵AC=5xsin，AE=2.5x
∴
∴sin=
cos=
BC=
在中，
解得CD=
∴
故答案为：B
【分析】取AB中点，设∠B=，则∠ACD=2∠B=2设AD=x，BD=4x根据∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO，得出；根据AC=5xsin，AE=2.5x，得出，进而得出sin=，cos=，BC=，在中，，解得CD=
因此，
二、填空题
9．（2021·无锡）下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】①
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
10．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
11．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ．
【答案】①②⑤
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①两个正三角形相似，正确；
②两个等腰直角三角形相似，正确；
③两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；
④两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本小题错误；
⑤两个正方形相似，正确；
综上所述，正确的结论是①②⑤．
故答案为：①②⑤
【分析】根据相似图形的定义，可得知图形是否相似。
12．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号）
【答案】③④
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故不符合题意；
②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不符合题意；
③两个等边三角形一定相似；
④两个正方形一定相似；
⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意，
故答案为：③④
【分析】根据相似图形的性质判断。
13．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；（填序号）
与图形（3）相似的有 ．（填序号）
【答案】a；d；g
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
【分析】观察给出的图形，根据相似图形的定义可求解。
三、综合题
14．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
15．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；相似图形
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
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