2023-2024学年初中数学九年级上册 24.2 比例线段 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3
2．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，，， B．1，4，2，
C．5，6，2，3 D．，，1，
3．（2023·合肥模拟）若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·金山模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·长春期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
二、填空题
9．（2023·宝山模拟）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么 ．
10．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ．
11．（2023·桂林模拟）若，则 .
12．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
13．（2019九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于
的一次函数
，其中常数k满足
，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数
的解析式为 ．
14．（2019九上·五常月考）如图，在 中， 于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若 ， ， ，则线段EF的长为 ．
三、解答题
15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
16．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
四、综合题
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
18．（2022·安徽模拟）已知，如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外一点，且∠ADC＝90°，E为BC中点，AF∥BC，连接EF交AD于点G，且EF⊥ED交AC于点H，AF＝1．
（1）若，求EF的长；
（2）在（1）的条件下，求CD的值；
（3）如图2，连接BD，BG，若BD＝AC，求证：BG⊥AD．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：
作DH//BF交AC于H
设HF=a，则AH=2a
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。
2．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据可得，再求出即可。
4．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用比例线段的计算方法求解即可。
5．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；
可得，所以B选项不符合题意；
可得，所以C选项不符合题意；
可得，所以D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据比例的性质逐项即可。
6．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：将等式的两边同时除以3b，得：
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
8．【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
9．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵线段是、的比例中项，
∴c2=ab=2×8=16，
∴c=±4，
∵c>0，
∴c=4，
故答案为：4.
【分析】利用比例中项的性质可得c2=ab=2×8=16，再求解即可。
10．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，
∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。
11．【答案】4：3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
.
，
故答案为：.
【分析】给3a=4b的两边同时除以3b即可得到结果.
12．【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
13．【答案】 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质
【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，
∴2：b=b：8，
解得b=
，
∵b＞0，
∴b=4，
∵ ，
∴
∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，
当a+b+c
时，解得k=
，
当a+b+c=0时，k=-1，
∴该一次函数
的解析式为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用
得到
，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；比例线段；旋转的性质
【解析】【解答】作FH⊥BC于点H，
，
，
，
设 ，则 ，
，
作FH⊥BC，
∴FH是△ACD的中位线，
∵EH=1+3=4
故答案为： ．
【分析】先根据已知条件证明 ，得到 ，设 ，则 ，得到 ，根据中点的性质得到 求出a的值，再作FH⊥BC，求出FH，再得到EF的值．
15．【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
16．【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
17．【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．【答案】（1）解：如图1，连接AE，∵AF∥BC，
∴△AHF∽△CHE，
∴，
∴AF=1，＝，
∴＝，
∴CE=3，
在Rt△ABC中，AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE=BC=CE=3，AE⊥BC，
∵AF∥BC，
∴AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
根据勾股定理得，EF=
（2）解：由（1）知，EF=，CE=3，
∴BC=2CE=6，
∴AC=，
∵∠EAC=45°-∠CAD，∠ECD=90°-45°-∠CAD=45°-∠CAD，
∴∠EAG=∠ECD，
∵∠AEG=∠CED，AE=CE，
∴△AEG≌△CED（ASA），
∴EG=ED，
∴∠EDG=45°=∠ACE，
∵∠APC=∠EPD，
∴∠PED=∠CAP，
∴∠FEA=∠CAD，
∴△AEF∽△DAC，
∴，
∴，
∴CD=．
（3）证明：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，
∴，，
连接AE，
∵，，
∴，
∵∠EBD=∠DBC，
∴△BED∽△BDC，
∴，
∴CD=DE=GD，
∵CD=AG，
∴AG=GD，
∵BD=AB，
∴BG⊥AD．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；推理与论证；比例的性质
【解析】【分析】（1）判断出相似，得出比例式，求出CE，CE和AE相等且垂直，再根据勾股定理求EF。
（2）由（1）的条件，先求出AC，再判断 △AEG≌△CED（ASA），得出 EG=ED ，再判断 △AEF∽△DAC ，得出比例关系，就可以得出结论
（3）利用AB=AC=BD，判断出 △BED∽△BDC ，利用相似比例求出CD和DE的关系，根据（2）中的条件，可以判断出AG=GD，最终得出结论
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.2 比例线段 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3
【答案】C
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：
作DH//BF交AC于H
设HF=a，则AH=2a
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。
2．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，，， B．1，4，2，
C．5，6，2，3 D．，，1，
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.
3．（2023·合肥模拟）若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据可得，再求出即可。
4．（2023·金山模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用比例线段的计算方法求解即可。
5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；
可得，所以B选项不符合题意；
可得，所以C选项不符合题意；
可得，所以D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据比例的性质逐项即可。
6．（2022九上·长春期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：将等式的两边同时除以3b，得：
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
7．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
二、填空题
9．（2023·宝山模拟）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵线段是、的比例中项，
∴c2=ab=2×8=16，
∴c=±4，
∵c>0，
∴c=4，
故答案为：4.
【分析】利用比例中项的性质可得c2=ab=2×8=16，再求解即可。
10．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，
∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。
11．（2023·桂林模拟）若，则 .
【答案】4：3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
.
，
故答案为：.
【分析】给3a=4b的两边同时除以3b即可得到结果.
12．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
13．（2019九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于
的一次函数
，其中常数k满足
，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数
的解析式为 ．
【答案】 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质
【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，
∴2：b=b：8，
解得b=
，
∵b＞0，
∴b=4，
∵ ，
∴
∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，
当a+b+c
时，解得k=
，
当a+b+c=0时，k=-1，
∴该一次函数
的解析式为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用
得到
，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.
14．（2019九上·五常月考）如图，在 中， 于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若 ， ， ，则线段EF的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；比例线段；旋转的性质
【解析】【解答】作FH⊥BC于点H，
，
，
，
设 ，则 ，
，
作FH⊥BC，
∴FH是△ACD的中位线，
∵EH=1+3=4
故答案为： ．
【分析】先根据已知条件证明 ，得到 ，设 ，则 ，得到 ，根据中点的性质得到 求出a的值，再作FH⊥BC，求出FH，再得到EF的值．
三、解答题
15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
16．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
四、综合题
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．（2022·安徽模拟）已知，如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外一点，且∠ADC＝90°，E为BC中点，AF∥BC，连接EF交AD于点G，且EF⊥ED交AC于点H，AF＝1．
（1）若，求EF的长；
（2）在（1）的条件下，求CD的值；
（3）如图2，连接BD，BG，若BD＝AC，求证：BG⊥AD．
【答案】（1）解：如图1，连接AE，∵AF∥BC，
∴△AHF∽△CHE，
∴，
∴AF=1，＝，
∴＝，
∴CE=3，
在Rt△ABC中，AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE=BC=CE=3，AE⊥BC，
∵AF∥BC，
∴AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
根据勾股定理得，EF=
（2）解：由（1）知，EF=，CE=3，
∴BC=2CE=6，
∴AC=，
∵∠EAC=45°-∠CAD，∠ECD=90°-45°-∠CAD=45°-∠CAD，
∴∠EAG=∠ECD，
∵∠AEG=∠CED，AE=CE，
∴△AEG≌△CED（ASA），
∴EG=ED，
∴∠EDG=45°=∠ACE，
∵∠APC=∠EPD，
∴∠PED=∠CAP，
∴∠FEA=∠CAD，
∴△AEF∽△DAC，
∴，
∴，
∴CD=．
（3）证明：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，
∴，，
连接AE，
∵，，
∴，
∵∠EBD=∠DBC，
∴△BED∽△BDC，
∴，
∴CD=DE=GD，
∵CD=AG，
∴AG=GD，
∵BD=AB，
∴BG⊥AD．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；推理与论证；比例的性质
【解析】【分析】（1）判断出相似，得出比例式，求出CE，CE和AE相等且垂直，再根据勾股定理求EF。
（2）由（1）的条件，先求出AC，再判断 △AEG≌△CED（ASA），得出 EG=ED ，再判断 △AEF∽△DAC ，得出比例关系，就可以得出结论
（3）利用AB=AC=BD，判断出 △BED∽△BDC ，利用相似比例求出CD和DE的关系，根据（2）中的条件，可以判断出AG=GD，最终得出结论
1 / 1
