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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 三角形一边的平行线 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·原平模拟）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023九下·江都）如图，，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·东莞期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
6．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2023·宝山模拟）在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·普兰店模拟）如图，在中，点分别在边上，，若，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·江都月考）若线段，点C是线段的一个黄金分割点（），则的长为 （结果保留根号）.
10．（2023·惠水模拟）如图，直线，分别交直线、于点，，，，，若，，则的长为 .
11．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
12．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
13．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
四、作图题
16．（2023·宁波模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图1中AB边上画点D，使得．
（2）在图2中作的高CE．
五、综合题
17．（2023八下·宜兴月考）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点A，并与轴交于点C，S△AOC=15．点D是线段AC上一点，CD：AC=2：3．
（1）求的值；
（2）求点D的坐标；
（3）根据图象，直接写出当时不等式的的解集．
18．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例定理即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；黄金分割
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得=，则最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得=，据此解答.
4．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线段成比例即可得到，进而结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
7．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵AD：BD=1：3，
∴，
∴当时，，
∴DE//BC，
∴C选项能够判断DE//BC，
故答案为C.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴AD：AB=3：4，
∵DE//BC，
∴，
故答案为： B.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：（）.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那
么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程可求出BC的长.
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，即，
解得，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此即可求解.
11．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
13．【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
14．【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
15．【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
16．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）法一：根据△ABC的BC边上的高为4，利用平行线分线段成比例定理，可作出点D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.
（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即为高CE.
17．【答案】（1）解：令y=0，
则-x+5=0，
∴x=5，
∴，，
，
∴，
把代入y=-x+5得，x=-1，
∴，
∵在函数的图象上，
∴；
（2）解：作轴于E，作轴于F，则，
∵AE//DF，
∴CD：AC=CF：CE=2：3，
∴CF=4，
∴EF=2，OF=1，
把x=1代入y=-x+5得y=4，
∴；
（3）解：由图像得，当x＜0时不等式的x的解集为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）令y=0，求出x的值，可得点C的坐标，然后求出OC的值，根据三角形的面积公式可得yA，代入一次函数解析式中求出x的值，得到点A的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）作AE⊥x轴于点 E，DF⊥x轴于点F，则AE∥DF，根据平行线分线段成比例的性质可得CD：AC=CF：CE=2：3，求出CE的值，然后求出EF、OF，将x=OF代入直线解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（3）根据图象，在第二象限找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 三角形一边的平行线 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·原平模拟）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可.
2．（2023九下·江都）如图，，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例定理即可一一判断得出答案.
3．（2023七下·东莞期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；黄金分割
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得=，则最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得=，据此解答.
4．（2023·吉林）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线段成比例即可得到，进而结合题意即可求解。
5．（2023·广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
6．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
7．（2023·宝山模拟）在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵AD：BD=1：3，
∴，
∴当时，，
∴DE//BC，
∴C选项能够判断DE//BC，
故答案为C.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
8．（2023·普兰店模拟）如图，在中，点分别在边上，，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴AD：AB=3：4，
∵DE//BC，
∴，
故答案为： B.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
二、填空题
9．（2023九下·江都月考）若线段，点C是线段的一个黄金分割点（），则的长为 （结果保留根号）.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：（）.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那
么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程可求出BC的长.
10．（2023·惠水模拟）如图，直线，分别交直线、于点，，，，，若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，即，
解得，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此即可求解.
11．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
12．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
13．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
四、作图题
16．（2023·宁波模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图1中AB边上画点D，使得．
（2）在图2中作的高CE．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）法一：根据△ABC的BC边上的高为4，利用平行线分线段成比例定理，可作出点D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.
（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即为高CE.
五、综合题
17．（2023八下·宜兴月考）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点A，并与轴交于点C，S△AOC=15．点D是线段AC上一点，CD：AC=2：3．
（1）求的值；
（2）求点D的坐标；
（3）根据图象，直接写出当时不等式的的解集．
【答案】（1）解：令y=0，
则-x+5=0，
∴x=5，
∴，，
，
∴，
把代入y=-x+5得，x=-1，
∴，
∵在函数的图象上，
∴；
（2）解：作轴于E，作轴于F，则，
∵AE//DF，
∴CD：AC=CF：CE=2：3，
∴CF=4，
∴EF=2，OF=1，
把x=1代入y=-x+5得y=4，
∴；
（3）解：由图像得，当x＜0时不等式的x的解集为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）令y=0，求出x的值，可得点C的坐标，然后求出OC的值，根据三角形的面积公式可得yA，代入一次函数解析式中求出x的值，得到点A的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）作AE⊥x轴于点 E，DF⊥x轴于点F，则AE∥DF，根据平行线分线段成比例的性质可得CD：AC=CF：CE=2：3，求出CE的值，然后求出EF、OF，将x=OF代入直线解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（3）根据图象，在第二象限找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
18．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
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