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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.4 相似三角形的判定 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
4．（2022九上·道县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
5．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
7．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
二、填空题
9．（2021九上·北林期末）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ．
10．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
11．（2021九上·宁安期末）如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是 (只添一个即可)．
12．（2022九上·沙河口期末）如图，要使，则需添加一个适当的条件是 （添一个即可）．
13．（2023九上·通川期末）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：
①△MHN∽△BCF；
②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；
③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；
④若DF＝DC，则折叠后重叠部分的面积为．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题
14．（2023九上·韩城期末）如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
15．（2023九上·府谷期末）如图，在中，，D是边上一点，.求证.
四、作图题
16．（2023九上·临渭期末）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，点D为AB边上一点，利用尺规作图的方法在AC上找一点 E，使得△ADE∽△ACB.
五、综合题
17．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵AD·BC= DE·AC，
∴，
而无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；
D、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断A选项；根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B、C；根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断D.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
9．【答案】∠ACD=∠ABC（答案不唯一，也可以增加条件：∠ADC=∠ACB或）．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
故答案为： ∠ACD=∠ABC
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
11．【答案】∠B=∠ADE（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠A=∠A，
添加，可证得与相似，
故答案为：∠B=∠ADE（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
12．【答案】∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：，
只需要再加上，即可得到，
故答案为：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】①②③④
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1所示，
由折叠可知：BF⊥MN，
∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝∠BOM＝90°，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
∴①正确，符合题意；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小；
当F与D重合时，此时MN最大，如图2所示，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝5，
∴OB＝OD＝，
∵tan∠DBC＝，即，
∴ON＝，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
又∵∠MOD＝∠NOB，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON＝，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜，
∴②正确，符合题意；
③如图3所示，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM＝＝，
∴FM＝，
∴DF＝＝＝1，
∴CF＝3-1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3-x）2+22＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴HN＝，
∵CH＝3，
∴CN＝HN＝，
∴N为HC的中点，
∴③正确，符合题意；
④如图4所示，连接FM，
∵DF＝DC，CD＝3，
∴DF＝1，CF＝2，
∴BF＝＝，
∴OF＝，
设FN＝a，则BN＝a，CN＝4-a，
由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，
∴a2＝（4-a）2+22，
解得：a＝，
∴BN＝FN＝，CN＝，
∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，
∴∠DFQ＝∠CNF，
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△QDF∽△FCN，
∴=，即=，
∴QD＝，
∵tan∠HMN＝tan∠CBF＝=，
∴=，
∴HN＝，
∴MN＝＝ ，
∵CH＝MD＝HN+CN＝+＝3，
∴MQ＝3-＝，
∴折叠后重叠部分面积=S△MNF+S△MQF
＝MN·OF+MQ·DF＝××+××1
=，
∴④正确，符合题意，
∴正确的结论是：①②③④.
故答案为：①②③④．
【分析】根据矩形性质及折叠性质，可推出∠CBF＝∠NMH，进而可证△MHN∽△BCF成立；当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小；当F与D重合时，此时MN最大，利用勾股定理求得BD长，根据同角的锐角三角函数关系求得ON长，再利用“ASA”证得 △DOM≌△BON，得到OM＝ON，可求得出MN的长，进而求得MN的范围；如图3所示，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，从而求得AM＝BH＝1，利用勾股定理得求得BM、FM的长，从而求得DF的长，可求出CF＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，即（3-x）2+22＝（x+1）2，
解得x可求得HN＝，进而求得CN＝HN＝，即得出N为HC的中点；如图4所示，连接FM，根据勾股定理得BF的长，即得OF的长，再设FN＝a，则BN＝a，CN＝4-a，由勾股定理得FN2＝CN2+CF2，
即a2＝（4-a）2+22，解得a可得BN＝FN＝，CN＝，再通过两角对应相等证得△QDF∽△FCN，利用相似三角形对应比成比例列式求出QD＝，再根据同角的锐角三角函数关系求出HN长，最后通过勾股定理可求得MN的长，再由CH＝MD＝HN+CN=3，进而求得MQ＝，最后通过折叠后重叠部分面积=S△MNF+S△MQF，代入数据计算即可求解.
14．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
15．【答案】证明：∵，，
∴.
∴.
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知条件可得，由图形可得∠A=∠A，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
16．【答案】解：如下图所示，△ADE∽△ACB，
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】过点D作AB的垂线，交AC于点E，则∠ADE=∠ACB=90°，∠DAE=∠CAB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.4 相似三角形的判定 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
3．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2022九上·道县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵AD·BC= DE·AC，
∴，
而无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；
D、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断A选项；根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B、C；根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断D.
5．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A， ，
∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
8．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
二、填空题
9．（2021九上·北林期末）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ．
【答案】∠ACD=∠ABC（答案不唯一，也可以增加条件：∠ADC=∠ACB或）．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
故答案为： ∠ACD=∠ABC
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
11．（2021九上·宁安期末）如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是 (只添一个即可)．
【答案】∠B=∠ADE（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠A=∠A，
添加，可证得与相似，
故答案为：∠B=∠ADE（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
12．（2022九上·沙河口期末）如图，要使，则需添加一个适当的条件是 （添一个即可）．
【答案】∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：，
只需要再加上，即可得到，
故答案为：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2023九上·通川期末）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：
①△MHN∽△BCF；
②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；
③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；
④若DF＝DC，则折叠后重叠部分的面积为．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
【答案】①②③④
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1所示，
由折叠可知：BF⊥MN，
∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝∠BOM＝90°，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
∴①正确，符合题意；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小；
当F与D重合时，此时MN最大，如图2所示，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝5，
∴OB＝OD＝，
∵tan∠DBC＝，即，
∴ON＝，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
又∵∠MOD＝∠NOB，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON＝，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜，
∴②正确，符合题意；
③如图3所示，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM＝＝，
∴FM＝，
∴DF＝＝＝1，
∴CF＝3-1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3-x）2+22＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴HN＝，
∵CH＝3，
∴CN＝HN＝，
∴N为HC的中点，
∴③正确，符合题意；
④如图4所示，连接FM，
∵DF＝DC，CD＝3，
∴DF＝1，CF＝2，
∴BF＝＝，
∴OF＝，
设FN＝a，则BN＝a，CN＝4-a，
由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，
∴a2＝（4-a）2+22，
解得：a＝，
∴BN＝FN＝，CN＝，
∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，
∴∠DFQ＝∠CNF，
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△QDF∽△FCN，
∴=，即=，
∴QD＝，
∵tan∠HMN＝tan∠CBF＝=，
∴=，
∴HN＝，
∴MN＝＝ ，
∵CH＝MD＝HN+CN＝+＝3，
∴MQ＝3-＝，
∴折叠后重叠部分面积=S△MNF+S△MQF
＝MN·OF+MQ·DF＝××+××1
=，
∴④正确，符合题意，
∴正确的结论是：①②③④.
故答案为：①②③④．
【分析】根据矩形性质及折叠性质，可推出∠CBF＝∠NMH，进而可证△MHN∽△BCF成立；当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小；当F与D重合时，此时MN最大，利用勾股定理求得BD长，根据同角的锐角三角函数关系求得ON长，再利用“ASA”证得 △DOM≌△BON，得到OM＝ON，可求得出MN的长，进而求得MN的范围；如图3所示，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，从而求得AM＝BH＝1，利用勾股定理得求得BM、FM的长，从而求得DF的长，可求出CF＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，即（3-x）2+22＝（x+1）2，
解得x可求得HN＝，进而求得CN＝HN＝，即得出N为HC的中点；如图4所示，连接FM，根据勾股定理得BF的长，即得OF的长，再设FN＝a，则BN＝a，CN＝4-a，由勾股定理得FN2＝CN2+CF2，
即a2＝（4-a）2+22，解得a可得BN＝FN＝，CN＝，再通过两角对应相等证得△QDF∽△FCN，利用相似三角形对应比成比例列式求出QD＝，再根据同角的锐角三角函数关系求出HN长，最后通过勾股定理可求得MN的长，再由CH＝MD＝HN+CN=3，进而求得MQ＝，最后通过折叠后重叠部分面积=S△MNF+S△MQF，代入数据计算即可求解.
三、解答题
14．（2023九上·韩城期末）如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
15．（2023九上·府谷期末）如图，在中，，D是边上一点，.求证.
【答案】证明：∵，，
∴.
∴.
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知条件可得，由图形可得∠A=∠A，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
四、作图题
16．（2023九上·临渭期末）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，点D为AB边上一点，利用尺规作图的方法在AC上找一点 E，使得△ADE∽△ACB.
【答案】解：如下图所示，△ADE∽△ACB，
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】过点D作AB的垂线，交AC于点E，则∠ADE=∠ACB=90°，∠DAE=∠CAB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB.
五、综合题
17．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
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