2023-2024学年初中数学九年级上册 24.4 相似三角形的判定 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
5．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
6．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
7．（2020·武汉模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数 x 的图象上任意一点，PA x轴于点A，PD y轴于点D，分别交反比例函数 x ， k 的图象于点B，C 下列结论：①当k 时，BC是 PAD的中位线；②不论k为何值，都有 PDA∽ PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k ④若点P ，将 PCB沿CB对折，使得P点恰好落在OA上时，则 ；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题
9．（2023·长宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与相似，那么点C的坐标是 ．
10．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
11．（2023·福州模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）.
12．（2022九上·广宗期末）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
13．（2020·武汉模拟）等腰 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 的顶角的度数是 .
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
15．（2023·岳阳模拟）如图，点D为的边的中点，过点D作，交于点E，延长至点F，使，求证：.
四、作图题
16．（2023·临渭模拟）如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
五、综合题
17．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
18．（2021九上·梁平期末）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 连接PO、BO，根据题意可知： ， ，
，即B是PA中点，同理可得C是PD的中点，
是 的中位线.故 成立.
根据题意由三角形的面积可得PA： ： ：k，
： ：PC， ， ∽ .故 成立.
根据题意可知， ， ， ，
又由 可知 ∽ ， ： ： ， ： ： ，
： ：6， ，故 成立.
如下图， 沿CB对折到 ，根据题意可得 ，
根据 可知 ， ， 可证明 ∽ ，
： ：PA， ， ， ，在直角 中， ， ，
根据勾股定理列出关于k的方程可解得 ，故 不成立.故答案为：C.
【分析】①根据反比例函数k的几何意义，可得 ， ，两直角三角形同底，则面积之比等于高之比，所以PA=2AB，同理可得C是PD的中点，所以BC是 的中位线； 根据题意由三角形的面积可得PA： ： ：k，再加上有一个公共角，则两个三角形相似； 先求得△PDA的面积，然后再求得△PCB的面积，根据相似三角形的面积等于相似比的平方，求得△PDA与△PCB的相似比，从而可求得k值； 首先证明 ∽ ，求出AQ的长，再在直角三角形ABQ中，通过勾股定理求出k的值.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
9．【答案】(1，2)、(5，2)、(4，4)
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点A作的垂线，当时，，得，
过点B作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【分析】所以分三种情况：①，②，③，据此分别求解即可.
10．【答案】是
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
11．【答案】∠1=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠1=∠C，
又∵，
∴，
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）.
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似进行解答.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】36°或90°或108°
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1，
∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°.
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故 ∽ ；
②如图2，
∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°.
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故 ∽ ；
③如图3，
∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有 ∽ ；
故答案为：36°或90°或108°.
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.
14．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．【答案】证明：∵点D为的边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
16．【答案】解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；
∵，，
∴，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴∠DBC=∠A=36°，
又∠C=∠C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得∠A=∠ABD=36°，进而可求出∠DBC=36°，最后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△ACB.
17．【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
18．【答案】（1）证明：由折叠的性质可知： ， ， ， ，
.
又 ，
，
；
（2）解：结论： 是等边三角形，理由如下：
直线MN是矩形ABCD的对称轴，
点 是EF的中点，即 ，
在 和 中
，
，
， ，
又 ， .
，
，
是等边三角形；
（3）解：DG，EG，FG的数量关系是 ，理由如下：
由(2)可知 是等边三角形；将 逆时针旋转 到 位置，如解图(1)，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，可得结果；
（2）由 点 恰好落在直线MN上 可得 点 是EF的中点，即 ， 由SAS易证，可得结果；
（3） 将 逆时针旋转 到 位置，由(2)可知 是等边三角形 ，由旋转可得
△DGG’是等边三角形，由勾股定理可得结果.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.4 相似三角形的判定 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
2．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
3．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
5．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
6．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
7．（2020·武汉模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数 x 的图象上任意一点，PA x轴于点A，PD y轴于点D，分别交反比例函数 x ， k 的图象于点B，C 下列结论：①当k 时，BC是 PAD的中位线；②不论k为何值，都有 PDA∽ PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k ④若点P ，将 PCB沿CB对折，使得P点恰好落在OA上时，则 ；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 连接PO、BO，根据题意可知： ， ，
，即B是PA中点，同理可得C是PD的中点，
是 的中位线.故 成立.
根据题意由三角形的面积可得PA： ： ：k，
： ：PC， ， ∽ .故 成立.
根据题意可知， ， ， ，
又由 可知 ∽ ， ： ： ， ： ： ，
： ：6， ，故 成立.
如下图， 沿CB对折到 ，根据题意可得 ，
根据 可知 ， ， 可证明 ∽ ，
： ：PA， ， ， ，在直角 中， ， ，
根据勾股定理列出关于k的方程可解得 ，故 不成立.故答案为：C.
【分析】①根据反比例函数k的几何意义，可得 ， ，两直角三角形同底，则面积之比等于高之比，所以PA=2AB，同理可得C是PD的中点，所以BC是 的中位线； 根据题意由三角形的面积可得PA： ： ：k，再加上有一个公共角，则两个三角形相似； 先求得△PDA的面积，然后再求得△PCB的面积，根据相似三角形的面积等于相似比的平方，求得△PDA与△PCB的相似比，从而可求得k值； 首先证明 ∽ ，求出AQ的长，再在直角三角形ABQ中，通过勾股定理求出k的值.
8．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
二、填空题
9．（2023·长宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与相似，那么点C的坐标是 ．
【答案】(1，2)、(5，2)、(4，4)
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点A作的垂线，当时，，得，
过点B作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【分析】所以分三种情况：①，②，③，据此分别求解即可.
10．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
【答案】是
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
11．（2023·福州模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）.
【答案】∠1=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠1=∠C，
又∵，
∴，
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）.
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似进行解答.
12．（2022九上·广宗期末）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2020·武汉模拟）等腰 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 的顶角的度数是 .
【答案】36°或90°或108°
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1，
∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°.
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故 ∽ ；
②如图2，
∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°.
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故 ∽ ；
③如图3，
∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有 ∽ ；
故答案为：36°或90°或108°.
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．（2023·岳阳模拟）如图，点D为的边的中点，过点D作，交于点E，延长至点F，使，求证：.
【答案】证明：∵点D为的边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
四、作图题
16．（2023·临渭模拟）如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；
∵，，
∴，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴∠DBC=∠A=36°，
又∠C=∠C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得∠A=∠ABD=36°，进而可求出∠DBC=36°，最后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△ACB.
五、综合题
17．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
18．（2021九上·梁平期末）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知： ， ， ， ，
.
又 ，
，
；
（2）解：结论： 是等边三角形，理由如下：
直线MN是矩形ABCD的对称轴，
点 是EF的中点，即 ，
在 和 中
，
，
， ，
又 ， .
，
，
是等边三角形；
（3）解：DG，EG，FG的数量关系是 ，理由如下：
由(2)可知 是等边三角形；将 逆时针旋转 到 位置，如解图(1)，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，可得结果；
（2）由 点 恰好落在直线MN上 可得 点 是EF的中点，即 ， 由SAS易证，可得结果；
（3） 将 逆时针旋转 到 位置，由(2)可知 是等边三角形 ，由旋转可得
△DGG’是等边三角形，由勾股定理可得结果.
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