2023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
2．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（ ）
A．8 B． C． D．10
4．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·明水模拟）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
7．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
二、填空题
9．（2023·洮北模拟）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 米.
10．（2023·鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
12．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
13．（2023·明水模拟）如图，已知是反比例函数图象上的一点，过点作轴交的图象于点以，为边作 ，连结交轴于点，则 ．
三、解答题
14．（2023·河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离m，cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
15．（2023·陇县模拟）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．
四、作图题
16．（2023·武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
五、综合题
17．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
18．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，DE=5，
那么：
∴DE：BC=3：5
∴
故答案为C。
【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，
∴AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，
∴AD+DE=A′D+DE=A′E，此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；
在Rt△ABC中，，
∴
∴，
解之：，
∴；
∵∠C+∠FAC=90°，∠A′+∠FAC=90°，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△A′AE∽△CBA，
∴即
解之：.
∴DA+DE的最小值就是.
故答案为：B
【分析】作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，利用垂线段最短可知A′E的值最小，利用对称点的性质可知AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，同时可证得此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；利用勾股定理求出BC的长，利用同一个直角三角形的面积不变，可求出AF的长，即可得到A′A的长；再证明△A′AE∽△CBA，利用相似三角形的对应边相等，可求出A′E的长.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
9．【答案】9.6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设树的高度为x米，
由题意可得：，
解得：x=9.6，
即树的高度为9.6米，
故答案为：9.6米.
【分析】根据同一时刻物体的长与其影长之比相等求出，再解方程即可。
10．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B的对应点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】利用三角形的相似比计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴∠BFE=∠AEF=∠BAE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴OC=AB=EF，
∴OF=CE，
∵点A是反比例函数上的一点，点B是反比例函数上的一点，
∴OF：OE=4：1，S△OBF=×4=2
∴OC：CF=5：9，
设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，
∵OD∥BF，
∴△OCD∽△FCB，
∴即
解之：，
∴
∴，
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可证得OC=AB=EF，可推出OF=CE，利用反比例函数的解析式，可得到OF：OE=4：1，同时求出△OBF的面积，可推出OC：CF=5：9；设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，由OD∥BF，可推出△OCD∽△FCB，利用小数是边形的性质可表示出BF的长，再利用三角形的面积公式可求出xy的值，然后求出△OCD的面积.
14．【答案】由题意得：
，解得
答：树EG的高度约为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠AFE=∠ABH=90°，∠BAE=∠FAH=90°，由同角的余角相等可得∠EAF=∠HAB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△ABH，然后由相似三角形的性质可得EF的值，再根据EG=EF+FG进行计算.
15．【答案】解：设 米．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：大雁塔的高度 为64米．
【知识点】分式方程的实际应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设 米，证明出 ，得到 ，可得CN=2x， ，得到 ，列出方程求解即可.
16．【答案】（1）解：如图（1）所示，线段和点G即为所作；
∵，，，
∴
∴
∴
∴线段绕点顺时针旋转得；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
由旋转性质得，，
∴．
（2）解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．
∵，，，
∴，
∴
∵
∴与关于对称，
∵
∴M、N关于对称；
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴．
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的判定与性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用旋转作图将BE绕着点B顺时针旋转90°，可得到线段BF，再作出∠GBE=45°，画出图形即可，利用SAS证明△BCF≌△BAE，利用全等三角形的性质可得到∠CBF=∠ABE，由此可推出∠FBE=90°，由此可证得结论；利用ASA证明△PEQ≌△CFQ，利用全等三角形的性质可证得EQ=FQ，利用旋转的性质可证得BE=BF，∠EBF=90°，即可求出∠GBE的度数.
（2）先作出点M关于BD的对称点N，在BD上作出点H，连接MH，则∠BHM=∠MBD，利用SAS证明△BCF≌△BAE，利用全等三角形的性质可证得BF=BE，利用轴对称的性质可得到BN=MB；再证明△POE∽△QOF，可得到相关线段成比例，再利用有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得△MEO∽△BEF，可得到∠EMO=∠EBF，利用平行线的性质可证得∠MHB=∠FBH，利用轴对称的性质可得到∠FBH=∠EBH，即可证得结论.
17．【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
18．【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
3．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，DE=5，
那么：
∴DE：BC=3：5
∴
故答案为C。
【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。
4．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．（2023·明水模拟）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，
∴AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，
∴AD+DE=A′D+DE=A′E，此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；
在Rt△ABC中，，
∴
∴，
解之：，
∴；
∵∠C+∠FAC=90°，∠A′+∠FAC=90°，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△A′AE∽△CBA，
∴即
解之：.
∴DA+DE的最小值就是.
故答案为：B
【分析】作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，利用垂线段最短可知A′E的值最小，利用对称点的性质可知AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，同时可证得此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；利用勾股定理求出BC的长，利用同一个直角三角形的面积不变，可求出AF的长，即可得到A′A的长；再证明△A′AE∽△CBA，利用相似三角形的对应边相等，可求出A′E的长.
6．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
7．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
8．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
二、填空题
9．（2023·洮北模拟）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 米.
【答案】9.6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设树的高度为x米，
由题意可得：，
解得：x=9.6，
即树的高度为9.6米，
故答案为：9.6米.
【分析】根据同一时刻物体的长与其影长之比相等求出，再解方程即可。
10．（2023·鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B的对应点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】利用三角形的相似比计算求解即可。
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
12．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
13．（2023·明水模拟）如图，已知是反比例函数图象上的一点，过点作轴交的图象于点以，为边作 ，连结交轴于点，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴∠BFE=∠AEF=∠BAE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴OC=AB=EF，
∴OF=CE，
∵点A是反比例函数上的一点，点B是反比例函数上的一点，
∴OF：OE=4：1，S△OBF=×4=2
∴OC：CF=5：9，
设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，
∵OD∥BF，
∴△OCD∽△FCB，
∴即
解之：，
∴
∴，
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可证得OC=AB=EF，可推出OF=CE，利用反比例函数的解析式，可得到OF：OE=4：1，同时求出△OBF的面积，可推出OC：CF=5：9；设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，由OD∥BF，可推出△OCD∽△FCB，利用小数是边形的性质可表示出BF的长，再利用三角形的面积公式可求出xy的值，然后求出△OCD的面积.
三、解答题
14．（2023·河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离m，cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【答案】由题意得：
，解得
答：树EG的高度约为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠AFE=∠ABH=90°，∠BAE=∠FAH=90°，由同角的余角相等可得∠EAF=∠HAB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△ABH，然后由相似三角形的性质可得EF的值，再根据EG=EF+FG进行计算.
15．（2023·陇县模拟）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．
【答案】解：设 米．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：大雁塔的高度 为64米．
【知识点】分式方程的实际应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设 米，证明出 ，得到 ，可得CN=2x， ，得到 ，列出方程求解即可.
四、作图题
16．（2023·武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
【答案】（1）解：如图（1）所示，线段和点G即为所作；
∵，，，
∴
∴
∴
∴线段绕点顺时针旋转得；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
由旋转性质得，，
∴．
（2）解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．
∵，，，
∴，
∴
∵
∴与关于对称，
∵
∴M、N关于对称；
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴．
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的判定与性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用旋转作图将BE绕着点B顺时针旋转90°，可得到线段BF，再作出∠GBE=45°，画出图形即可，利用SAS证明△BCF≌△BAE，利用全等三角形的性质可得到∠CBF=∠ABE，由此可推出∠FBE=90°，由此可证得结论；利用ASA证明△PEQ≌△CFQ，利用全等三角形的性质可证得EQ=FQ，利用旋转的性质可证得BE=BF，∠EBF=90°，即可求出∠GBE的度数.
（2）先作出点M关于BD的对称点N，在BD上作出点H，连接MH，则∠BHM=∠MBD，利用SAS证明△BCF≌△BAE，利用全等三角形的性质可证得BF=BE，利用轴对称的性质可得到BN=MB；再证明△POE∽△QOF，可得到相关线段成比例，再利用有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得△MEO∽△BEF，可得到∠EMO=∠EBF，利用平行线的性质可证得∠MHB=∠FBH，利用轴对称的性质可得到∠FBH=∠EBH，即可证得结论.
五、综合题
17．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
18．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
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