2023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·江北期末）如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2023九上·富阳期末）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·杭州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．（2023九上·邳州期末）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·鄞州期末）如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023九上·宁波期末）如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
二、填空题
9．（2023九上·滨江期末）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
10．（2023九上·临渭期末）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为 .
11．（2023九上·富阳期末）如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
12．（2023九上·礼泉期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是边AB上一动点(不与点A、B重合)，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长为 .
13．（2023九上·双流期末）已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于，两点在的右侧.是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点.若，则 .
三、解答题
14．（2023九上·临渭期末）雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m.请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.
15．（2023九上·西安期末）如图，乐乐测得学校门口栏杆的短臂长1米，长臂长4米，当短臂外端A下降米时，求长臂外端B升高多少米？
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图
（1）模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC =AD·AB；
（2）类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且 射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N.
①求证：. FA2=FC · FM
②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长.
18．（2023九上·余姚期末）如图
（1）[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC2 =AD·AB．
（2）[尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．
（3）[拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠AED=∠C，结合∠ABE=∠AED可得∠ABE=∠C，证明△ABE∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据CE=AC-AE进行计算.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，则，，
∵为的中点，
∴，
由对折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
则，
解得，（负根舍去），
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，则四边形ABHE、CDEH为矩形，得到AB=EH，ED=CH，设BF=x，CG=2x，FG=y，则CF=2x+y，B′F=BF=x，由中点的概念可得AE=DE=(3x+y)，由对折可得∠AEF=∠A′EF，由平行线的性质可得∠AEF=∠CFE，推出GE=GF=y，则A′G=(3x-y)，证明△CGA′∽△CFB′，由相似三角形的性质可得y=2x，则AD=BC=5x，EG=2x，HG=x，在Rt△EGH中，由勾股定理可得EH，据此求解.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵点是边的三等分点，点是边的中点，
∴，，
设，则，，，，，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
同理可得：，
∵，，，
设，则，，，
∴，，
∴，，故③④正确；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例得，，设，则，，，，，据此就不难判断①与②了；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得，，设，则，，，，则，，据此可判断③与④.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP、BQ，
根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，
又∵，
∴
设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴ .
∴
故答案为：A.
【分析】连接BP、BQ，根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等得S△DPQ=S△BPQ，设BF=a，BG=b，AG=kb，判断出△AGP∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得，推出GP=ka，同理△FQC∽△ABC，得，推出FQ=kb，根据割补法得S△BPQ=S△ABC-S△ABP-S△BQC，进而根据矩形面积计算方法得S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=k2ab，则 ，据此就可得出结论了.
9．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2.
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，∠ABC=90°，则AC=2，由等腰三角形的性质可得∠EBO=∠ACB，证明△BOE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
10．【答案】-8
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作于D，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
反比例函数的图像经过点B，
，
故答案为：.
【分析】过点B作BD⊥OA于D，根据同角的余角相等可得∠OBD=∠BAD，证明△BDA∽△ODB，设B（m，n），则OD=-m，BD=n，易得AD=5+m，然后根据相似三角形的性质可得m、n的值，表示出点B的坐标，再代入y=中就可求出k的值.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.
12．【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
当DF=AF时
∴∠DAO=∠ADF
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，∠DAC=∠ADF=∠FDO=∠DAB=30°，
∴DO=2，
∴DF=2FO，
∴OF2+4=4OF2
解之：
∴，
∴，
AC=
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：；
当AD=AF=4时，
∵△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：.
故答案为： 或
【分析】连接BD交AC于点O，分情况讨论：当DF=AF时利用等边对等角可证得∠DAO=∠ADF，利用菱形的性质去证明△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BD的长，同时可求出∠ADF=∠FDO=30°，即可得到DO的长，再利用勾股定理求出OF、AF、AO的长，即可求出AC的长；再证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；当AD=AF=4时，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；综上所述可得到AE的长.
13．【答案】2
【知识点】反比例函数图象的对称性；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
，
，
，
则，
根据对称性可得
∴
故答案为：2.
【分析】过点A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，则CF∥AG∥BH，证明△DFC∽△DGA，△FCE∽△HBE，根据相似三角形的性质可得BH=(n-1)CF，根据平行线分线段成比例的性质可得AG=(m+1)CF，根据对称性可得BH=AG=(m+1)CF，联立化简可得m与n的关系.
14．【答案】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，
∴FH＝2.8-1.5+1.7＝3m，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴，，
∴，即，
解得：BD＝21m，
∴，
解得：AB＝13.6m.
即该校旗杆的高度AB为13.6m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意知：CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，则FH＝3m，证明△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．【答案】解：如图所示，为升降之后的栏杆，过、作，垂足分别为C、D.
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
解得：.
即长臂外端B升高米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】画出示意图，A′B′为升降之后的栏杆，过A′、B′作A′C⊥AB、B′D⊥AB，垂足分别为C、D，由题意知OA=OA′=1，OB=OB′=4，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得A′C∥B′D，证明△OCA′∽△ODB′，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
16．【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
17．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD·AB
（2）解：①证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠EAF
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE=∠M，
∴∠FAC=∠M，
∵ ∠AFC=∠MFA，
∴△FAC∽△FMA，
∴FA2=FC·FM.
②解：∵
∴CM=FM-FC=8-2=6.
由①知， 即
∴AC=5
由①同理得，∠DAN=∠CAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠N，
∴∠CAM=∠N，
由①知，∠NAC=∠M，
∴△NAC∽△AMC，
即
解之：
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（2）①连接AC，利用菱形的性质可证得∠BAC=∠BAD，AB∥CD，可推出∠BAC=∠EAF，由此可证得∠BAE=∠CAF=∠M，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△FAC∽△FAM，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论；②利用已知可求出FM，CM的长，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AC的长；再证明∠CAM=∠N，可推出△NAC∽△AMC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AN的长，根据FN=AN-AF，代入计算求出FN的长.
18．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∴AC2= AD AB；
（2）解：∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴
∴CE=3AE，
∴AC=4AE.
∵DF⊥AC，
由（1）可得，
DA2=AE·AC，
∴22=AE·4AE，
∴AE=1；
（3）解：在矩形ABCD中， ∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°.
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC∥FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
∴△CDM≌△DFA，
∴CM=DA=2.
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1.
由（1）可得，DG2=GM·GC.
设 GM=x，则 CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得 (舍去)
∴GM的长为 .
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AFE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得CE=3AE，结合（1）的结论可求出AE的长.
（3）根据轴对称的性质得∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，根据平行线的性质推出DM⊥GC，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCM，用AAS判断出△CDM≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得CM=DA=2，
结合（1）的结论建立方程，求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·江北期末）如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．（2023九上·富阳期末）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
3．（2023九上·杭州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
4．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
5．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠AED=∠C，结合∠ABE=∠AED可得∠ABE=∠C，证明△ABE∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据CE=AC-AE进行计算.
6．（2023九上·邳州期末）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，则，，
∵为的中点，
∴，
由对折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
则，
解得，（负根舍去），
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，则四边形ABHE、CDEH为矩形，得到AB=EH，ED=CH，设BF=x，CG=2x，FG=y，则CF=2x+y，B′F=BF=x，由中点的概念可得AE=DE=(3x+y)，由对折可得∠AEF=∠A′EF，由平行线的性质可得∠AEF=∠CFE，推出GE=GF=y，则A′G=(3x-y)，证明△CGA′∽△CFB′，由相似三角形的性质可得y=2x，则AD=BC=5x，EG=2x，HG=x，在Rt△EGH中，由勾股定理可得EH，据此求解.
7．（2023九上·鄞州期末）如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵点是边的三等分点，点是边的中点，
∴，，
设，则，，，，，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
同理可得：，
∵，，，
设，则，，，
∴，，
∴，，故③④正确；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例得，，设，则，，，，，据此就不难判断①与②了；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得，，设，则，，，，则，，据此可判断③与④.
8．（2023九上·宁波期末）如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP、BQ，
根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，
又∵，
∴
设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴ .
∴
故答案为：A.
【分析】连接BP、BQ，根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等得S△DPQ=S△BPQ，设BF=a，BG=b，AG=kb，判断出△AGP∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得，推出GP=ka，同理△FQC∽△ABC，得，推出FQ=kb，根据割补法得S△BPQ=S△ABC-S△ABP-S△BQC，进而根据矩形面积计算方法得S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=k2ab，则 ，据此就可得出结论了.
二、填空题
9．（2023九上·滨江期末）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2.
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，∠ABC=90°，则AC=2，由等腰三角形的性质可得∠EBO=∠ACB，证明△BOE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
10．（2023九上·临渭期末）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为 .
【答案】-8
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作于D，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
反比例函数的图像经过点B，
，
故答案为：.
【分析】过点B作BD⊥OA于D，根据同角的余角相等可得∠OBD=∠BAD，证明△BDA∽△ODB，设B（m，n），则OD=-m，BD=n，易得AD=5+m，然后根据相似三角形的性质可得m、n的值，表示出点B的坐标，再代入y=中就可求出k的值.
11．（2023九上·富阳期末）如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.
12．（2023九上·礼泉期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是边AB上一动点(不与点A、B重合)，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长为 .
【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
当DF=AF时
∴∠DAO=∠ADF
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，∠DAC=∠ADF=∠FDO=∠DAB=30°，
∴DO=2，
∴DF=2FO，
∴OF2+4=4OF2
解之：
∴，
∴，
AC=
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：；
当AD=AF=4时，
∵△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：.
故答案为： 或
【分析】连接BD交AC于点O，分情况讨论：当DF=AF时利用等边对等角可证得∠DAO=∠ADF，利用菱形的性质去证明△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BD的长，同时可求出∠ADF=∠FDO=30°，即可得到DO的长，再利用勾股定理求出OF、AF、AO的长，即可求出AC的长；再证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；当AD=AF=4时，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；综上所述可得到AE的长.
13．（2023九上·双流期末）已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于，两点在的右侧.是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点.若，则 .
【答案】2
【知识点】反比例函数图象的对称性；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
，
，
，
则，
根据对称性可得
∴
故答案为：2.
【分析】过点A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，则CF∥AG∥BH，证明△DFC∽△DGA，△FCE∽△HBE，根据相似三角形的性质可得BH=(n-1)CF，根据平行线分线段成比例的性质可得AG=(m+1)CF，根据对称性可得BH=AG=(m+1)CF，联立化简可得m与n的关系.
三、解答题
14．（2023九上·临渭期末）雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m.请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.
【答案】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，
∴FH＝2.8-1.5+1.7＝3m，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴，，
∴，即，
解得：BD＝21m，
∴，
解得：AB＝13.6m.
即该校旗杆的高度AB为13.6m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意知：CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，则FH＝3m，证明△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．（2023九上·西安期末）如图，乐乐测得学校门口栏杆的短臂长1米，长臂长4米，当短臂外端A下降米时，求长臂外端B升高多少米？
【答案】解：如图所示，为升降之后的栏杆，过、作，垂足分别为C、D.
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
解得：.
即长臂外端B升高米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】画出示意图，A′B′为升降之后的栏杆，过A′、B′作A′C⊥AB、B′D⊥AB，垂足分别为C、D，由题意知OA=OA′=1，OB=OB′=4，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得A′C∥B′D，证明△OCA′∽△ODB′，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图
（1）模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC =AD·AB；
（2）类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且 射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N.
①求证：. FA2=FC · FM
②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长.
【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD·AB
（2）解：①证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠EAF
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE=∠M，
∴∠FAC=∠M，
∵ ∠AFC=∠MFA，
∴△FAC∽△FMA，
∴FA2=FC·FM.
②解：∵
∴CM=FM-FC=8-2=6.
由①知， 即
∴AC=5
由①同理得，∠DAN=∠CAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠N，
∴∠CAM=∠N，
由①知，∠NAC=∠M，
∴△NAC∽△AMC，
即
解之：
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（2）①连接AC，利用菱形的性质可证得∠BAC=∠BAD，AB∥CD，可推出∠BAC=∠EAF，由此可证得∠BAE=∠CAF=∠M，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△FAC∽△FAM，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论；②利用已知可求出FM，CM的长，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AC的长；再证明∠CAM=∠N，可推出△NAC∽△AMC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AN的长，根据FN=AN-AF，代入计算求出FN的长.
18．（2023九上·余姚期末）如图
（1）[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC2 =AD·AB．
（2）[尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．
（3）[拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∴AC2= AD AB；
（2）解：∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴
∴CE=3AE，
∴AC=4AE.
∵DF⊥AC，
由（1）可得，
DA2=AE·AC，
∴22=AE·4AE，
∴AE=1；
（3）解：在矩形ABCD中， ∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°.
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC∥FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
∴△CDM≌△DFA，
∴CM=DA=2.
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1.
由（1）可得，DG2=GM·GC.
设 GM=x，则 CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得 (舍去)
∴GM的长为 .
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AFE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得CE=3AE，结合（1）的结论可求出AE的长.
（3）根据轴对称的性质得∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，根据平行线的性质推出DM⊥GC，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCM，用AAS判断出△CDM≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得CM=DA=2，
结合（1）的结论建立方程，求解即可.
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