2023-2024学年初中数学九年级上册 24.6 实数与向量相乘 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·宝山模拟）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（ ）
A．， B．
C． D．，
2．（2023·金山模拟）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定的是（ ）
A．， B．
C． D．，
3．（2023·松江模拟）已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么或
D．如果为单位向量，且，那么
4．（2023·杨浦模拟）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·徐汇期中）下列说法中正确的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果与均是单位向量，那么
C．如果是单位向量，的长度为5，那么
D．如果m、n为非零实数，为非零向量，那么．
6．（2022九上·闵行期中）已知，下列说法中错误的是（ ）
A． B．与方向相同
C． D．
7．（2022九上·浦东期中）下列判断正确的是（ ）
A．如果，那么；
B．若向量与均为单位向量，那么
C．如果，那么
D．对于非零向量，如果，那么
8．（2022九上·黄浦期中）下面命题中，错误的是（ ）
A．
B．
C．如果，那么
D．如果，那么
二、填空题
9．（2023·崇明模拟）计算： ．
10．（2022九上·徐汇期中）如果向量、、满足，用、表示x= ．
11．（2022九上·闵行期中）已知与单位向量的方向相同，且长度为，那么用表示 ．
12．（2022九上·虹口期中）计算：＝ ．
13．（2023·宝山模拟）计算：＝ ．
三、计算题
14．（2021·浦东模拟）已知向量关系式 ，试用向量 、 表示向量 ．
四、解答题
15．（2019·徐汇模拟）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设 ＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
五、综合题
16．（2023八下·普陀期中）如图，在梯形中，，过点C作，交延长线于点E.
（1）填空： ； .
（2）求作：.
17．（2021九上·松江月考）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．
（1）求证：FG∥AB；
（2）设 ＝ ， ＝ ，请用向量 ， 表示 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】A、∵，，可得，∴向量与向量的方向相同或相反，∴A不符合题意；
B、∵，∴向量与向量的方向相同或相反，∴B不符合题意；
C、∵，∴向量与向量的方向相反，∴C不符合题意；
D、∵，，∴向量与向量的方向相同，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用向量的线性运算及表示方法逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：，，
，
故A选项能判定；
，
，
故B选项能判定；
，不能判断与方向是否相同，
故C选项不能判定；
，，
，
，
故D选项能判定，
故答案为：C．
【分析】利用平行向量的计算方法和证明方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】平行向量定理；单位向量
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故本选不符合题意；
B、如果，那么，故本选不符合题意；
C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项符合题意
D、如果为单位向量，且，那么，故本选不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行向量的证明方法及单位向量的定义逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用向量的计算方法及表示方法逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】实数与向量相乘运算法则；单位向量
【解析】【解答】解：A、如果或，那么，选项不符合题意；
B、如果与均是单位向量，那么，原说法错误，模相等，方向不一定相同，选项不符合题意；，
C、如果是单位向量，的长度为5，那么，选项符合题意；
D、如果m、n为非零实数，为非零向量，那么，选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平面向量的计算方法和单位向量的定义逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：A、由知：，符合题意；
B、由知：与的方向相同，不符合题意；
C、由知：与的方向相同，则，不符合题意；
D、由知：，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用向量的定义、平行向量的定义及向量的计算方法逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：A、模相等的两个向量不一定相等，不符合题意；
B、两个单位向量，不一定相等，因为方向不一定相同，不符合题意；
C、应该是，不符合题意；
D、根据平行向量的特征判定可得，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相等向量，平行向量的定义一一判断即可。
8．【答案】A
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：A、与大小相等，但方向相反，
∴，故本选项正确，符合题意；
B．根据向量的交换律，可知，不合题意；
C．如果，那么，不合题意；
D．如果，那么，不合题意；
故答案为：A
【分析】根据平面向量的性质，平行向量的性质逐一判断即可.
9．【答案】
【知识点】向量的加法运算律；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据向量的运算法则进行计算可得答案。
10．【答案】
【知识点】实数与向量相乘的运算律
【解析】【解答】解：，
即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
11．【答案】5
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：与单位向量的方向相同，长度为5，
．
故答案为：．
【分析】利用单位向量的计算方法求解即可。
12．【答案】--3
【知识点】向量的加法运算律；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：
＝2-2-3-
＝--3．
故答案为：--3．
【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
13．【答案】
【知识点】实数与向量相乘的运算律
【解析】【解答】，
故答案为：。
【分析】利用实数与向量的乘法的计算方法求解即可。
14．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平面向量及其表示；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．
15．【答案】（1）∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ + ＝﹣ + ， ∵AD＝2CD，
∴CD＝ CA，
∵ 与 同向， ∴ ＝ ＝ （﹣ + ）＝ ﹣ ；
（2）如图 在 、 上的分向量分别为 ， ．
∵ ＝ + ＝ + ﹣ ＝ + ．
【知识点】平面向量及其表示；向量的加法运算律；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】（1）平面向量在图形中的基本线性运算。已知 、 ，注意方向，从而求出 。 由题意得CD＝ CA，所以 ＝ 。
（2）根据在平面内画分向量的方法，作图即可。 ＝ + ，根据（1） 已知，注意向量方向，简单运算即可求出 。
16．【答案】（1）；
（2）解：如图，作，且，连接，即为所求．
【知识点】向量的加法法则；平行向量定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∵，，
∴四边形CEBD为平行四边形，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形法则进行向量的线性运算即可求解；
（2）作，且，连接，即为所求。
17．【答案】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，
∵DF∥BC，
∴ ，
∵GE∥AC，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∠FCG=∠ACB，
∴△FCG∽△ACB，
∴∠FGC=∠B，
∴FG∥AB；
（2）解：∵△FCG∽△ACB，
∴ ，
∴
∵ ＝ ， ＝ ，
∴
∵ ， GF∥BA；
∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】 (1) 由AD＝DE＝EB，DF∥BC ， GE∥AC 根据平行线分线段成比例可得，可判断
△FCG∽△ACB 进而得到结论；
(2) 由 △FCG∽△ACB 可得出，然后根据即可得到结论。
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一、选择题
1．（2023·宝山模拟）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】A、∵，，可得，∴向量与向量的方向相同或相反，∴A不符合题意；
B、∵，∴向量与向量的方向相同或相反，∴B不符合题意；
C、∵，∴向量与向量的方向相反，∴C不符合题意；
D、∵，，∴向量与向量的方向相同，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用向量的线性运算及表示方法逐项判断即可。
2．（2023·金山模拟）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定的是（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】C
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：，，
，
故A选项能判定；
，
，
故B选项能判定；
，不能判断与方向是否相同，
故C选项不能判定；
，，
，
，
故D选项能判定，
故答案为：C．
【分析】利用平行向量的计算方法和证明方法逐项判断即可。
3．（2023·松江模拟）已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么或
D．如果为单位向量，且，那么
【答案】C
【知识点】平行向量定理；单位向量
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故本选不符合题意；
B、如果，那么，故本选不符合题意；
C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项符合题意
D、如果为单位向量，且，那么，故本选不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行向量的证明方法及单位向量的定义逐项判断即可。
4．（2023·杨浦模拟）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用向量的计算方法及表示方法逐项判断即可。
5．（2022九上·徐汇期中）下列说法中正确的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果与均是单位向量，那么
C．如果是单位向量，的长度为5，那么
D．如果m、n为非零实数，为非零向量，那么．
【答案】C
【知识点】实数与向量相乘运算法则；单位向量
【解析】【解答】解：A、如果或，那么，选项不符合题意；
B、如果与均是单位向量，那么，原说法错误，模相等，方向不一定相同，选项不符合题意；，
C、如果是单位向量，的长度为5，那么，选项符合题意；
D、如果m、n为非零实数，为非零向量，那么，选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平面向量的计算方法和单位向量的定义逐项判断即可。
6．（2022九上·闵行期中）已知，下列说法中错误的是（ ）
A． B．与方向相同
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：A、由知：，符合题意；
B、由知：与的方向相同，不符合题意；
C、由知：与的方向相同，则，不符合题意；
D、由知：，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用向量的定义、平行向量的定义及向量的计算方法逐项判断即可。
7．（2022九上·浦东期中）下列判断正确的是（ ）
A．如果，那么；
B．若向量与均为单位向量，那么
C．如果，那么
D．对于非零向量，如果，那么
【答案】D
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：A、模相等的两个向量不一定相等，不符合题意；
B、两个单位向量，不一定相等，因为方向不一定相同，不符合题意；
C、应该是，不符合题意；
D、根据平行向量的特征判定可得，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相等向量，平行向量的定义一一判断即可。
8．（2022九上·黄浦期中）下面命题中，错误的是（ ）
A．
B．
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】A
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：A、与大小相等，但方向相反，
∴，故本选项正确，符合题意；
B．根据向量的交换律，可知，不合题意；
C．如果，那么，不合题意；
D．如果，那么，不合题意；
故答案为：A
【分析】根据平面向量的性质，平行向量的性质逐一判断即可.
二、填空题
9．（2023·崇明模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】向量的加法运算律；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据向量的运算法则进行计算可得答案。
10．（2022九上·徐汇期中）如果向量、、满足，用、表示x= ．
【答案】
【知识点】实数与向量相乘的运算律
【解析】【解答】解：，
即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
11．（2022九上·闵行期中）已知与单位向量的方向相同，且长度为，那么用表示 ．
【答案】5
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】解：与单位向量的方向相同，长度为5，
．
故答案为：．
【分析】利用单位向量的计算方法求解即可。
12．（2022九上·虹口期中）计算：＝ ．
【答案】--3
【知识点】向量的加法运算律；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：
＝2-2-3-
＝--3．
故答案为：--3．
【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
13．（2023·宝山模拟）计算：＝ ．
【答案】
【知识点】实数与向量相乘的运算律
【解析】【解答】，
故答案为：。
【分析】利用实数与向量的乘法的计算方法求解即可。
三、计算题
14．（2021·浦东模拟）已知向量关系式 ，试用向量 、 表示向量 ．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平面向量及其表示；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．
四、解答题
15．（2019·徐汇模拟）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设 ＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
【答案】（1）∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ + ＝﹣ + ， ∵AD＝2CD，
∴CD＝ CA，
∵ 与 同向， ∴ ＝ ＝ （﹣ + ）＝ ﹣ ；
（2）如图 在 、 上的分向量分别为 ， ．
∵ ＝ + ＝ + ﹣ ＝ + ．
【知识点】平面向量及其表示；向量的加法运算律；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】（1）平面向量在图形中的基本线性运算。已知 、 ，注意方向，从而求出 。 由题意得CD＝ CA，所以 ＝ 。
（2）根据在平面内画分向量的方法，作图即可。 ＝ + ，根据（1） 已知，注意向量方向，简单运算即可求出 。
五、综合题
16．（2023八下·普陀期中）如图，在梯形中，，过点C作，交延长线于点E.
（1）填空： ； .
（2）求作：.
【答案】（1）；
（2）解：如图，作，且，连接，即为所求．
【知识点】向量的加法法则；平行向量定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∵，，
∴四边形CEBD为平行四边形，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形法则进行向量的线性运算即可求解；
（2）作，且，连接，即为所求。
17．（2021九上·松江月考）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．
（1）求证：FG∥AB；
（2）设 ＝ ， ＝ ，请用向量 ， 表示 ．
【答案】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，
∵DF∥BC，
∴ ，
∵GE∥AC，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∠FCG=∠ACB，
∴△FCG∽△ACB，
∴∠FGC=∠B，
∴FG∥AB；
（2）解：∵△FCG∽△ACB，
∴ ，
∴
∵ ＝ ， ＝ ，
∴
∵ ， GF∥BA；
∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】 (1) 由AD＝DE＝EB，DF∥BC ， GE∥AC 根据平行线分线段成比例可得，可判断
△FCG∽△ACB 进而得到结论；
(2) 由 △FCG∽△ACB 可得出，然后根据即可得到结论。
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