2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·普陀期中）如图，在中，对角线相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．与是相等的向量 B．与是相等的向量
C．与是相反的向量 D．与是平行的向量
【答案】B
【知识点】向量的加法法则；平行向量定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：
A、与是相等的向量，A不符合题意；
B、与不是相等的向量，B符合题意；
C、与是相反的向量，C不符合题意；
D、与是平行的向量，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平面向量及其表示结合题意即可求解。
2．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 是矩形，点 是对角线 与 的交点.下列四种说法：①向量 与向量 是相等的向量；②向量 与向量 是互为相反的向量；③向量 与向量 是相等的向量；④向量 与向量 是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量 与向量 是相等的向量，符合题意．
②向量 与向量 是互为相反的向量，符合题意．
③向量 与向量 是相等的向量；不符合题意．
④向量 与向量 是平行向量．符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
3．（2020九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中线，设 ，那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵AD是△ABC中线，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据向量的三角形法则求出 ，即可得到 .
4．（2020·青浦模拟）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设 ， ，那么向量 用向量 、 表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴ ＝3 ＝3 ，
∵ ＝ + ＝﹣ +3 ，DB＝BD，
∴ ＝2 ＝6 ﹣2 ，
故答案为：C．
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出 即可解决问题．
5．（2020·谯城模拟）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：
∵AC＝2BC，
∴BC＝ AB，AC＝ AB，
∴ ，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C一定符合题意；
．选项D不符合题意；ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝ AB．
6．（2019九上·上海月考）已知 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
7．（2019八下·长宁期末）在四边形 中，若 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】如图，连接BD．
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ，即 ．
故答案为：B．
【分析】如图，连接BD．利用三角形法则解题即可．
8．（2019·徐汇模拟）若 ＝2 ，向量 和向量 方向相反，且| |＝2| |，则下列结论中错误的是（ ）
A．| |＝2 B．| |＝4
C． ＝4 D． ＝
【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】A、由 ＝2 推知| |＝2，故本选项不符合题意．
B、由 ＝-4 推知| |＝4，故本选项不符合题意．
C、依题意得： ＝﹣4 ，故本选项符合题意．
D、依题意得： ＝- ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意得向量b与向量a是方向相反且不为零的平行向量。为两个 ，所以 | |＝2 。 | |
| | 为正数，即 | | =4.所以 =-4 。 =-2 的关系不变。
二、填空题
9．（2022·长宁模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝ ．
【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据向量的线性运算求解即可。
10．（2022·宝山模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么＝ （用表示）．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；向量的线性运算
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，DB＝2DC，
∴AD＝2DC，
∴CD＝AC，
∴＝，
故答案为．
【分析】先证明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出结论。
11．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
12．（2023·青岛模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
13．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得当，，
故答案为：.
【分析】直接根据一次函数和二次函数的图象即可求解。
14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＜0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，
∴函数开口向下，
∴a＜0，
故答案为：a＜0
【分析】根据二次函数开口方向与系数的关系，结合题意即可求解。
三、解答题
15．（2021九上·金山期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，，设，．
求向量关于、的分解式．
【答案】解：连接BD．
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】连接BD．根据，得出，再根据，，得出，即可得出结果。
16．（2021九上·奉贤期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设 ＝ ， ＝ ，用 、 的线性组合表示向量 ．
【答案】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ ．
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴ ，
∴ ．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】根据平面向量的线性计算及三角形法则求解即可。
四、作图题
17．（2022九上·闵行期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量
【答案】解：．
如图，即为所求．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
五、综合题
18．（2023·杨浦模拟）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G．
（1）设， （用向量表示）
（2）如果，，求边的长．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；向量的线性运算
【解析】【解答】解：（1）连接并延长交于点F．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
∵G是的重心，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
【分析】（1）连接并延长交于点F．由G是的重心可得，由平行线可证，利用相似三角形的性质可得，由，即得；
（2）证明，可得，据此即可求解.
19．（2022九上·黄浦月考）如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，请用、表示、（直接写出答案）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：=；=
【知识点】平行线分线段成比例；向量的线性运算
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再化简可得；
（2）利用平面向量的计算方法求解即可。
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一、选择题
1．（2023八下·普陀期中）如图，在中，对角线相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．与是相等的向量 B．与是相等的向量
C．与是相反的向量 D．与是平行的向量
2．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 是矩形，点 是对角线 与 的交点.下列四种说法：①向量 与向量 是相等的向量；②向量 与向量 是互为相反的向量；③向量 与向量 是相等的向量；④向量 与向量 是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中线，设 ，那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·青浦模拟）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设 ， ，那么向量 用向量 、 表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·谯城模拟）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2019九上·上海月考）已知 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2019八下·长宁期末）在四边形 中，若 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019·徐汇模拟）若 ＝2 ，向量 和向量 方向相反，且| |＝2| |，则下列结论中错误的是（ ）
A．| |＝2 B．| |＝4
C． ＝4 D． ＝
二、填空题
9．（2022·长宁模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝ ．
10．（2022·宝山模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么＝ （用表示）．
11．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
12．（2023·青岛模拟）计算： ．
13．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是 ．
三、解答题
15．（2021九上·金山期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，，设，．
求向量关于、的分解式．
16．（2021九上·奉贤期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设 ＝ ， ＝ ，用 、 的线性组合表示向量 ．
四、作图题
17．（2022九上·闵行期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量
五、综合题
18．（2023·杨浦模拟）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G．
（1）设， （用向量表示）
（2）如果，，求边的长．
19．（2022九上·黄浦月考）如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，请用、表示、（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的加法法则；平行向量定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：
A、与是相等的向量，A不符合题意；
B、与不是相等的向量，B符合题意；
C、与是相反的向量，C不符合题意；
D、与是平行的向量，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平面向量及其表示结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量 与向量 是相等的向量，符合题意．
②向量 与向量 是互为相反的向量，符合题意．
③向量 与向量 是相等的向量；不符合题意．
④向量 与向量 是平行向量．符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵AD是△ABC中线，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据向量的三角形法则求出 ，即可得到 .
4．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴ ＝3 ＝3 ，
∵ ＝ + ＝﹣ +3 ，DB＝BD，
∴ ＝2 ＝6 ﹣2 ，
故答案为：C．
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出 即可解决问题．
5．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：
∵AC＝2BC，
∴BC＝ AB，AC＝ AB，
∴ ，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C一定符合题意；
．选项D不符合题意；ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝ AB．
6．【答案】A
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
7．【答案】B
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】如图，连接BD．
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ，即 ．
故答案为：B．
【分析】如图，连接BD．利用三角形法则解题即可．
8．【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】A、由 ＝2 推知| |＝2，故本选项不符合题意．
B、由 ＝-4 推知| |＝4，故本选项不符合题意．
C、依题意得： ＝﹣4 ，故本选项符合题意．
D、依题意得： ＝- ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意得向量b与向量a是方向相反且不为零的平行向量。为两个 ，所以 | |＝2 。 | |
| | 为正数，即 | | =4.所以 =-4 。 =-2 的关系不变。
9．【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据向量的线性运算求解即可。
10．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；向量的线性运算
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，DB＝2DC，
∴AD＝2DC，
∴CD＝AC，
∴＝，
故答案为．
【分析】先证明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出结论。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
12．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得当，，
故答案为：.
【分析】直接根据一次函数和二次函数的图象即可求解。
14．【答案】a＜0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，
∴函数开口向下，
∴a＜0，
故答案为：a＜0
【分析】根据二次函数开口方向与系数的关系，结合题意即可求解。
15．【答案】解：连接BD．
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】连接BD．根据，得出，再根据，，得出，即可得出结果。
16．【答案】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ ．
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴ ，
∴ ．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】根据平面向量的线性计算及三角形法则求解即可。
17．【答案】解：．
如图，即为所求．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。
18．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；向量的线性运算
【解析】【解答】解：（1）连接并延长交于点F．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
∵G是的重心，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
【分析】（1）连接并延长交于点F．由G是的重心可得，由平行线可证，利用相似三角形的性质可得，由，即得；
（2）证明，可得，据此即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：=；=
【知识点】平行线分线段成比例；向量的线性运算
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再化简可得；
（2）利用平面向量的计算方法求解即可。
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