2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2019·顺义模拟）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示为： ＝（m，n）．已知 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么 与 互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A． ， B． ，
C． , D． ，
【答案】B
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合题意；
B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合题意；
C： ×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合题意；
D： ，不垂直，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平面向量垂直的判定方法，一一判断即可．
2．（2019九上·闵行期末）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：
∵AC＝2BC，
∴BC＝ AB，AC＝ AB，
∴ ，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C一定符合题意；
．选项D不符合题意；
ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由AC＝2BC，可得BC＝ AB，AC＝ AB，据此逐一分析判断即可.
3．（2017八下·徐汇期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得：| |=| |，且它们的方向相反，
∴有 ，
故答案为：C．
【分析】根据平面向量运算的性质即可得出正确答案。
4．（2016九上·浦东期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD= BC， = ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】梯形中位线定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EF= （AD+BC），
∵AD= BC，
∴EF= BC，
∵ ，
∴ ．
故选C．
【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF= BC，又由 ，即可求得 的值．
5．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，=，=，那么等于（ ）
A．- B．- C．- D．-
【答案】D
【知识点】向量的减法法则；向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为D是边BC的中点，
所以所以
因为所以
故选D．
【分析】由D是边BC的中点与=，即可求得的值，又由，即可求得答案．
6．已知M是△ABC内的一点，且 =2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
【答案】B
【知识点】实数与向量相乘的运算律；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵ =b c cos∠BAC=2，∠BAC=30°，
∴bc=2，
∴bc=4，
∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，
∴x+y=，
∴+=2（+）×（x+y）
=．
故选B．
【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化为2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．
7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（ ）
A．2- B．4- C．2- D．4-
【答案】A
【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，
∴﹣4
=
故选A．
【分析】首先将=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的运算法则进行求解即可求得答案．
8．在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：设＜，＞=θ，θ+B=， ||=a，
∵AB=2， =1，
∴2acosθ=-2acosB=1，
∵AC=3，
由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，
∴a2=3，
∴a=，
∴BC=．
故选A．
【分析】利用向量的数量积，余弦定理，即可求得BC的值．
二、填空题
9．（2023·崇明模拟）已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为 ．
【答案】 /
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=AD，DE=AB，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。
10．（2023·闵行模拟）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么= （用，表示）．
【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．
【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。
11．（2023·杨浦模拟）在中，点D是的中点，，，那么 ．（用、表示）．
【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：在中，
∵，，
∴．
∵点D是的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用向量的线段运算的计算方法求解即可。
12．（2019·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝ ．
【答案】 .
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴AD＝HC．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ ，且GF＝AD．
∴EG＝EF﹣GF＝ ﹣AD＝ ．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ .
故答案是： .
【分析】根据平行四边形判定定理，两组对边分别平行得四边形AHCD是平行四边形。故AD=GF。根据梯形中位线定理得EF=，然后进行平面相量的基本加减运算。
三、解答题
13．（2018九上·金山期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设 ， ，求向量 关于 、 的分解式．
【答案】解：连接BD，
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，MN= BD，
∵ ，
∴
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；
四、作图题
14．（2021九上·普陀期中）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，满足 ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴
如图：
，
∴
∴
则 即为所求．
【知识点】向量的加法运算律；向量的线性运算
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ，最后计算求解即可。
五、综合题
15．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D在边上，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）设，，用向量、表示向量．
【答案】（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得；
（2）根据，可得，再利用向量的线性运算可得。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2019·顺义模拟）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示为： ＝（m，n）．已知 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么 与 互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A． ， B． ，
C． , D． ，
2．（2019九上·闵行期末）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017八下·徐汇期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2016九上·浦东期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD= BC， = ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，=，=，那么等于（ ）
A．- B．- C．- D．-
6．已知M是△ABC内的一点，且 =2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（ ）
A．2- B．4- C．2- D．4-
8．在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．（2023·崇明模拟）已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为 ．
10．（2023·闵行模拟）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么= （用，表示）．
11．（2023·杨浦模拟）在中，点D是的中点，，，那么 ．（用、表示）．
12．（2019·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝ ．
三、解答题
13．（2018九上·金山期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设 ， ，求向量 关于 、 的分解式．
四、作图题
14．（2021九上·普陀期中）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，满足 ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
五、综合题
15．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D在边上，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）设，，用向量、表示向量．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合题意；
B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合题意；
C： ×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合题意；
D： ，不垂直，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平面向量垂直的判定方法，一一判断即可．
2．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：
∵AC＝2BC，
∴BC＝ AB，AC＝ AB，
∴ ，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C一定符合题意；
．选项D不符合题意；
ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由AC＝2BC，可得BC＝ AB，AC＝ AB，据此逐一分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得：| |=| |，且它们的方向相反，
∴有 ，
故答案为：C．
【分析】根据平面向量运算的性质即可得出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】梯形中位线定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EF= （AD+BC），
∵AD= BC，
∴EF= BC，
∵ ，
∴ ．
故选C．
【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF= BC，又由 ，即可求得 的值．
5．【答案】D
【知识点】向量的减法法则；向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为D是边BC的中点，
所以所以
因为所以
故选D．
【分析】由D是边BC的中点与=，即可求得的值，又由，即可求得答案．
6．【答案】B
【知识点】实数与向量相乘的运算律；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵ =b c cos∠BAC=2，∠BAC=30°，
∴bc=2，
∴bc=4，
∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，
∴x+y=，
∴+=2（+）×（x+y）
=．
故选B．
【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化为2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．
7．【答案】A
【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，
∴﹣4
=
故选A．
【分析】首先将=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的运算法则进行求解即可求得答案．
8．【答案】A
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：设＜，＞=θ，θ+B=， ||=a，
∵AB=2， =1，
∴2acosθ=-2acosB=1，
∵AC=3，
由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，
∴a2=3，
∴a=，
∴BC=．
故选A．
【分析】利用向量的数量积，余弦定理，即可求得BC的值．
9．【答案】 /
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=AD，DE=AB，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。
10．【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．
【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。
11．【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：在中，
∵，，
∴．
∵点D是的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用向量的线段运算的计算方法求解即可。
12．【答案】 .
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴AD＝HC．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ ，且GF＝AD．
∴EG＝EF﹣GF＝ ﹣AD＝ ．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ .
故答案是： .
【分析】根据平行四边形判定定理，两组对边分别平行得四边形AHCD是平行四边形。故AD=GF。根据梯形中位线定理得EF=，然后进行平面相量的基本加减运算。
13．【答案】解：连接BD，
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，MN= BD，
∵ ，
∴
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；
14．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴
如图：
，
∴
∴
则 即为所求．
【知识点】向量的加法运算律；向量的线性运算
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ，最后计算求解即可。
15．【答案】（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得；
（2）根据，可得，再利用向量的线性运算可得。
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