2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 锐角三角比的意义 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，
则，
故答案为：B.
【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.
2．（2023九上·余姚期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
3．（2023九上·宜宾期末）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴cosA＝.
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据余弦函数的定义求出答案.
4．（2023九上·内江期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠A=30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
5．（2023九上·长兴期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形.如果已知， ，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，， ，
∴，
在中，，
故答案为：C.
【分析】根据∠ADB的正弦函数表示出BD，然后根据正切函数的概念进行解答.
6．（2023九上·江北期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
7．（2023九上·东方期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDM=∠DEA，
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质可得∠CDM=∠DEA，根据中点的概念可得AE=AB=1，利用勾股定理可求出DE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
8．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E
∵
∴
∵
∴，即
∴
∵，
∴
∵在中，，若，
∴
∵
∴，即
∴.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算.
二、填空题
9．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
10．（2023九上·武功期末）如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D ，
∴AC∥BD，
∴∠B=∠A，
∴tanB=tanA=.
故答案为：.
【分析】根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AC∥BD，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠A，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
11．（2022九上·济南期末）如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则cosA的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据勾股定理可求出，
∴．
故答案为：．
【分析】由勾股定理可求AB的长，再根据余弦函数的定义求解即可.
12．（2023九上·长兴期末）如图，在一张长方形纸片中， 点，分别是和的中点，点是上一点，将矩形的一角沿所在的直线翻折，点恰好落在上，若，则的长是 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，分别是和的中点，
∴，，
∵沿所在的直线翻折后得到，
∴， ，
在中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质以及中点的概念可得AE=BE=5，∠B=90°，由折叠的性质可得AB′=AB=10，∠B′=∠B=90°，易得∠AB′E=∠BAH=30°，据此不难求出BH的值.
13．（2023九上·武义期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架.
（1）当时，的度数为 .
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 .
【答案】（1）30°
（2）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角函数的概念求出sin∠EGO的值，然后结合特殊角的三角函数值就可得到∠EGO的度数；
（2）过N作NP⊥OC于P，易得△AOB是等边三角形，由旋转的性质得FN=FH=4，∠FOC=∠B=60°，利用勾股定理可得ON的值，由余角的性质可得∠NOP=30°，则NP=ON，过F作FK⊥OH于K，根据含30°角的直角三角形的性质可得OK的值，利用勾股定理求出FK、KH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
三、解答题
14．（2022九上·沈阳期末）求出图中∠A的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】解：第一个图中，∵，
∴，
∴，
即，
第二个图中，，
∴，
∴，
即．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用正弦、余弦和正切的定义及计算方法求解即可。
15．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
四、作图题
16．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）根据（1）的作图， .
【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，
∴如图所示，
∴即为所求图形.
（2）
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，
∵，，，
∴，点A到的距离（高）是，
∴，且，
∴，即，
在中，，
∴，
∵是的相似图形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；
（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.
五、综合题
17．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
18．（2023九上·徐州期末）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：如图，延长EA、CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
∴，
∵，DC=20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴ ，即G是AB的黄金分割点；
（3）解：当时，满足题意，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC=20cm，
∴cm.
故答案为：；
【分析】（1）根据黄金分割的特点可得AB=AC，然后将AC=20cm代入进行计算；
（2）延长EA、CG交于点M，由正方形的性质以及平行线的性质可得∠EMC=∠BCG，由折叠性质可知∠ECM=∠BCG，则∠EMC=∠ECM，推出EM=EC，易得EC、EM、DM的值，求出tan∠DMC、tan∠BCG的值，据此解答；
（3）根据正方形的性质解答AB=BC，∠BAE=∠CBF=90°，由同角的余角相等可得∠BCF=∠ABE，利用ASA证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE，证明△AEF∽△BPF，得到，当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，AE>DE，则，然后结合BF=AE、AB=BC进行解答.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 锐角三角比的意义 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·余姚期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·宜宾期末）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·内江期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023九上·长兴期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形.如果已知， ，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·江北期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2023九上·东方期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
10．（2023九上·武功期末）如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为 ．
11．（2022九上·济南期末）如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则cosA的值为 ．
12．（2023九上·长兴期末）如图，在一张长方形纸片中， 点，分别是和的中点，点是上一点，将矩形的一角沿所在的直线翻折，点恰好落在上，若，则的长是 .
13．（2023九上·武义期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架.
（1）当时，的度数为 .
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 .
三、解答题
14．（2022九上·沈阳期末）求出图中∠A的正弦值、余弦值和正切值．
15．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
四、作图题
16．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）根据（1）的作图， .
五、综合题
17．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
18．（2023九上·徐州期末）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，
则，
故答案为：B.
【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
3．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴cosA＝.
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据余弦函数的定义求出答案.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠A=30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，， ，
∴，
在中，，
故答案为：C.
【分析】根据∠ADB的正弦函数表示出BD，然后根据正切函数的概念进行解答.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDM=∠DEA，
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质可得∠CDM=∠DEA，根据中点的概念可得AE=AB=1，利用勾股定理可求出DE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E
∵
∴
∵
∴，即
∴
∵，
∴
∵在中，，若，
∴
∵
∴，即
∴.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D ，
∴AC∥BD，
∴∠B=∠A，
∴tanB=tanA=.
故答案为：.
【分析】根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AC∥BD，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠A，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据勾股定理可求出，
∴．
故答案为：．
【分析】由勾股定理可求AB的长，再根据余弦函数的定义求解即可.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，分别是和的中点，
∴，，
∵沿所在的直线翻折后得到，
∴， ，
在中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质以及中点的概念可得AE=BE=5，∠B=90°，由折叠的性质可得AB′=AB=10，∠B′=∠B=90°，易得∠AB′E=∠BAH=30°，据此不难求出BH的值.
13．【答案】（1）30°
（2）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角函数的概念求出sin∠EGO的值，然后结合特殊角的三角函数值就可得到∠EGO的度数；
（2）过N作NP⊥OC于P，易得△AOB是等边三角形，由旋转的性质得FN=FH=4，∠FOC=∠B=60°，利用勾股定理可得ON的值，由余角的性质可得∠NOP=30°，则NP=ON，过F作FK⊥OH于K，根据含30°角的直角三角形的性质可得OK的值，利用勾股定理求出FK、KH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】解：第一个图中，∵，
∴，
∴，
即，
第二个图中，，
∴，
∴，
即．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用正弦、余弦和正切的定义及计算方法求解即可。
15．【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
16．【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，
∴如图所示，
∴即为所求图形.
（2）
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，
∵，，，
∴，点A到的距离（高）是，
∴，且，
∴，即，
在中，，
∴，
∵是的相似图形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；
（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
18．【答案】（1）
（2）解：如图，延长EA、CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
∴，
∵，DC=20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴ ，即G是AB的黄金分割点；
（3）解：当时，满足题意，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC=20cm，
∴cm.
故答案为：；
【分析】（1）根据黄金分割的特点可得AB=AC，然后将AC=20cm代入进行计算；
（2）延长EA、CG交于点M，由正方形的性质以及平行线的性质可得∠EMC=∠BCG，由折叠性质可知∠ECM=∠BCG，则∠EMC=∠ECM，推出EM=EC，易得EC、EM、DM的值，求出tan∠DMC、tan∠BCG的值，据此解答；
（3）根据正方形的性质解答AB=BC，∠BAE=∠CBF=90°，由同角的余角相等可得∠BCF=∠ABE，利用ASA证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE，证明△AEF∽△BPF，得到，当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，AE>DE，则，然后结合BF=AE、AB=BC进行解答.
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