2023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 求锐角三角比的值 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．（2023·和平模拟）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 =2×=
故答案为：B。
【分析】利用特殊的锐角三角函数值进行计算即可。
3．（2023·南漳模拟）cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°＝，
故选：D．
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
4．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
5．（2023·麒麟模拟）如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足为点E，且恰好，若，则（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴AD=CD，
∴∠ABC=90°，
∵平分交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵AD=DB，
∴∠A=∠DBA=45°，
∴tanA=1，
故答案为：C
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到AD=BD，进而根据三角形的面积即可得到AD=CD，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合角平分线的性质即可得到∠ABD=∠CBD=45°，进而根据等腰三角形的性质结合特殊三角函数值即可求解。
6．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
7．（2023·东莞模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、，此选项符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用0指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及同底数幂的乘法计算方法逐项判断即可。
8．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
【答案】D
【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
二、填空题
9．（2023·青岛模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
10．（2023·乾安模拟）计算：2cos60°= ．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 2cos60°= 2×=1，
故答案为：1.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
11．（2023·殷都模拟）式子的值是 .
【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=，tan45°=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
12．（2023八下·盐城月考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BF恰好平分∠ABD，，那么阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作，
根据翻折的性质可得：，
，
，
BF恰好平分∠ABD ，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质以及角平分线的性质得到，再根据直角三角形的特殊角求出各边，最后根据三角形的面积公式得到结果.
13．（2023·昆明模拟） ．
【答案】3
【知识点】平方根；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据特殊三角函数值，平方根进行运算，进而即可求解。
三、计算题
14．（2023·北京市模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可
四、解答题
15．（2023·滨州）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，进而运用负整数指数幂、特殊三角函数值进行运算即可得到，再代入即可求解。
16．（2023·绥中模拟）先化简，再求值： ，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式运算法则进行化简，再求出a的值，将其代入进行计算即可。
五、综合题
17．（2023·宜宾模拟）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：、
；
（2）解：
，
当，时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a、b的值代入化简后的式子计算即可。
18．（2023·宜宾模拟）
（1）计算：；
（2）先化简：然后求当时，这个代数式的值．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
当时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值等知识。在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值。
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一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2023·和平模拟）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·南漳模拟）cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·麒麟模拟）如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足为点E，且恰好，若，则（ ）．
A． B． C．1 D．
6．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
7．（2023·东莞模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
二、填空题
9．（2023·青岛模拟）计算： ．
10．（2023·乾安模拟）计算：2cos60°= ．
11．（2023·殷都模拟）式子的值是 .
12．（2023八下·盐城月考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BF恰好平分∠ABD，，那么阴影部分的面积为 ．
13．（2023·昆明模拟） ．
三、计算题
14．（2023·北京市模拟）计算：．
四、解答题
15．（2023·滨州）先化简，再求值：，其中满足．
16．（2023·绥中模拟）先化简，再求值： ，其中．
五、综合题
17．（2023·宜宾模拟）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．（2023·宜宾模拟）
（1）计算：；
（2）先化简：然后求当时，这个代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 =2×=
故答案为：B。
【分析】利用特殊的锐角三角函数值进行计算即可。
3．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°＝，
故选：D．
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴AD=CD，
∴∠ABC=90°，
∵平分交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵AD=DB，
∴∠A=∠DBA=45°，
∴tanA=1，
故答案为：C
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到AD=BD，进而根据三角形的面积即可得到AD=CD，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合角平分线的性质即可得到∠ABD=∠CBD=45°，进而根据等腰三角形的性质结合特殊三角函数值即可求解。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、，此选项符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用0指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及同底数幂的乘法计算方法逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
9．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
10．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 2cos60°= 2×=1，
故答案为：1.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=，tan45°=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作，
根据翻折的性质可得：，
，
，
BF恰好平分∠ABD ，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质以及角平分线的性质得到，再根据直角三角形的特殊角求出各边，最后根据三角形的面积公式得到结果.
13．【答案】3
【知识点】平方根；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据特殊三角函数值，平方根进行运算，进而即可求解。
14．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可
15．【答案】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，进而运用负整数指数幂、特殊三角函数值进行运算即可得到，再代入即可求解。
16．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式运算法则进行化简，再求出a的值，将其代入进行计算即可。
17．【答案】（1）解：、
；
（2）解：
，
当，时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a、b的值代入化简后的式子计算即可。
18．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
当时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值等知识。在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值。
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