2023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 求锐角三角比的值 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高明模拟）在中，，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·杨浦模拟）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·儋州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，连接、，则线段的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2023九上·沭阳期末）在直角三角形ABC中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
6．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
8．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长 ．
10．（2023·陇县模拟）如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点与交于点．设，那么的周长为 ．
11．（2023·奉贤模拟）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是 ．
12．（2023·罗湖模拟）如图，在锐角三角形ABC中，tanA=，BC=，线段BD、CE分别是AC、AB边上的高线，连接DE，则三角形ADE面积的最大值是
13．（2023·梧州模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是 ．
三、计算题
14．（2023·通辽）计算：．
四、解答题
15．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
16．（2019·兴县模拟）小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从 出发，沿 方向以6海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 出发，沿南偏东60°方向，以15海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
（1）出发后 小时两船与港口 的距离相等；
（2）出发几小时后乙船在甲船的正东方向 （结果精确到0.1小时，参考数据：
五、综合题
17．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
18．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，是的内角，又，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
3．【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【分析】先化简，再根据分数的定义逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
∴∠OAB=30°，
∴OA=2OB=2，
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，
故答案为：B.
【分析】易得OB=1，AB=，由正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可得∠AOB=60°，由旋转的性质得OA=OA'，∠AOB=∠AOA'=60°，故△OAA'是等边三角形，根据含30直角直角三角形的性质及等边三角形的性质可得AA'的长度.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
又，
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】画出示意图，根据勾股定理可得AC的值，求出tanA的值，结合特殊角的三角函数值可得∠A的度数，然后求出的度数，再利用特殊角的三角函数值进行计算.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意画图：
由旋转得CA=ED，∠DEB=∠ACB=120°，△ECB和△DBA均为等边三角形，
∴CB=EC，AB=AD=7，∠ECB=∠CEB=60°，
∴∠ECA=180°，∠DEC=60°，
∵，
∴∠DCE=∠DCA=90°，
设EC=a，则ED=2a，DC=，
由勾股定理得，
解得，
故答案为：
【分析】先根据题意画出图，再根据旋转的性质得到CA=ED，∠DEB=∠ACB=120°，△ECB和△DBA均为等边三角形，根据等边三角形的性质结合题意得到CB=EC，AB=AD=7，∠ECB=∠CEB=60°，再结合题意得到∠DCE=∠DCA=90°，设EC=a，根据特殊角的三角函数即可得到ED=2a，DC=，最后运用勾股定理求出a即可求解。
10．【答案】6
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：CE=C'E，
BE=2CE，
BE=2C'E，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长=.
故答案为：6.
【分析】根据翻折的性质得到CE=C'E，再根据直角三角形的特殊角的性质得到，然后推出，根据对顶角相等得到，根据两直线平行，内错角相等得到，进而推出是等边三角形，最后根据等边三角形的性质得出EF的长即可得出结果.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；同角三角函数的关系；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如下图所示， 在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，点D的对应点恰好落在线段上的点G处，易知∠ CGE=∠ CEG+∠ GEF=∠ CED+∠ AEF =∠ EFC+∠ GEF=，∠ CEG=∠ CED，DE=GE，CD=CG=AD，
∴∠ GEF=∠ AEF ，∠A=∠EGF= ，EF=EF，∠ EFC=∠ CEG，
∴△GEF ≌ △AEF，
∴GE=AE=DE=AD，
∴tan =tan∠ CEG=====2，
∴的正切值是 2 。
故结果为：2 。
【分析】对折问题基本上都是权等问题，因此，利用题中条件快速得到两组全等三角形，从而得出对应的线段相等是解题的关键。此题综合性较高，难度较大。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=，
∴∠A=60°，
∵线段BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴AD=AB，AE= AC，
∴，
又∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ADE=S△ABC，
∴当△ABC的面积最大时，△ADE的面积最大；
如图，作出△ABC的外接圆，点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，
∵BC=，
∴当点A为优弧BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的最大值为：，
∴△ADE面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】由特殊角的三角函数值求得∠A=60°，利用三角形的高的意义及三角形的内角和定理可求得∠ABD=∠ACE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得，进而根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得S△ADE=S△ABC，所以当△ABC的面积最大时，△ADE的面积最大；作出△ABC的外接圆，点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，由底一定高越大则三角形的面积越大及圆的对称性可得当点A为优弧BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，由一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形的面积计算方法可算出△ABC的面积，从而求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，
∵GH⊥AF，
∴∠FEH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCH=90°，
∵∠FEH+∠EHK+∠HCF+∠CFE=360°，
∴∠EHK+∠CFE=180°，
∵∠AFB+∠CFE=180°，
∴∠AFB=∠EHK，
∴△ABF∽△EKH，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，
∴AB=CD=DE，∠EDK=60°，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，根据垂直定义得∠FEH=90°，由正方形的性质得∠FCH=90°，由四边形的内角和定理得∠EHK+∠CFE=180°，由邻补角定义及同角的补角相等得∠AFB=∠EHK，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABF∽△EKH，得，由正方形及等边三角形的性质得AB=CD=DE，∠EDK=60°，进而根据等量代换、正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出答案.
14．【答案】解：，
，
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质可得原式=9+1-10，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
15．【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
16．【答案】（1）
（2）解：设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E，则点E在点P的正南方向，
在Rt△CEP中，∠CPE=45°，
∴PE=PC cos45°，
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
∴PE=PD cos60°，
∴PC cos45°=PD cos60°．
∴（81-6y）cos45°=15y cos60°，
解得：y≈4.9．
答：出发后约4.9小时乙船在甲船的正东方向．
【知识点】特殊角的三角函数值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，
根据题意得： ，
解这个方程得： ，
答：出发后 小时两船与港口P的距离相等；
【分析】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
17．【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF=∠BEA，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180° ∠ABC=120°，
∴∠BAE=∠DAE=∠ABC=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠EAC=12∠DAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴AC⊥AB，∠ACB=90° ∠ABC=30°=∠EAC，
∴AE=CE，tan30°=tan∠ACB=ABAC即33=ABAC，
∴AB=33AC，
∵∠BAE=∠ABC，
∴AE=BE=CE，
∵△ABE的面积等于43，
∴S△ABC=12AC AB=12AC 33AC=36AC2=83，
∴平行线AB与DC间的距离AC=43．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形AECF是平行四边形，再结合AE=AF，得出四边形AECF是菱形即可；
（2）首先根据平行线和角平分线得出△ABE是等边三角形，再根据（1）的结论四边形AECF是菱形，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∠ACB=30°，且AE是斜边BC上的中线，可以得出△ABC的面积是△ABE面积的2倍，即△ABC的面积是再根据正切的定义以及30°角的正切值，得出最后根据Rt△ABC面积即可求得AC的长度，因为AC⊥AB，所以AC的长也就是AB与DC之间的距离。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 求锐角三角比的值 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
2．（2023·高明模拟）在中，，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，是的内角，又，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
3．（2022·杨浦模拟）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【分析】先化简，再根据分数的定义逐项判断即可。
4．（2023·儋州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，连接、，则线段的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
∴∠OAB=30°，
∴OA=2OB=2，
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，
故答案为：B.
【分析】易得OB=1，AB=，由正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可得∠AOB=60°，由旋转的性质得OA=OA'，∠AOB=∠AOA'=60°，故△OAA'是等边三角形，根据含30直角直角三角形的性质及等边三角形的性质可得AA'的长度.
5．（2023九上·沭阳期末）在直角三角形ABC中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
又，
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】画出示意图，根据勾股定理可得AC的值，求出tanA的值，结合特殊角的三角函数值可得∠A的度数，然后求出的度数，再利用特殊角的三角函数值进行计算.
6．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
7．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
8．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意画图：
由旋转得CA=ED，∠DEB=∠ACB=120°，△ECB和△DBA均为等边三角形，
∴CB=EC，AB=AD=7，∠ECB=∠CEB=60°，
∴∠ECA=180°，∠DEC=60°，
∵，
∴∠DCE=∠DCA=90°，
设EC=a，则ED=2a，DC=，
由勾股定理得，
解得，
故答案为：
【分析】先根据题意画出图，再根据旋转的性质得到CA=ED，∠DEB=∠ACB=120°，△ECB和△DBA均为等边三角形，根据等边三角形的性质结合题意得到CB=EC，AB=AD=7，∠ECB=∠CEB=60°，再结合题意得到∠DCE=∠DCA=90°，设EC=a，根据特殊角的三角函数即可得到ED=2a，DC=，最后运用勾股定理求出a即可求解。
10．（2023·陇县模拟）如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点与交于点．设，那么的周长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：CE=C'E，
BE=2CE，
BE=2C'E，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长=.
故答案为：6.
【分析】根据翻折的性质得到CE=C'E，再根据直角三角形的特殊角的性质得到，然后推出，根据对顶角相等得到，根据两直线平行，内错角相等得到，进而推出是等边三角形，最后根据等边三角形的性质得出EF的长即可得出结果.
11．（2023·奉贤模拟）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；同角三角函数的关系；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如下图所示， 在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，点D的对应点恰好落在线段上的点G处，易知∠ CGE=∠ CEG+∠ GEF=∠ CED+∠ AEF =∠ EFC+∠ GEF=，∠ CEG=∠ CED，DE=GE，CD=CG=AD，
∴∠ GEF=∠ AEF ，∠A=∠EGF= ，EF=EF，∠ EFC=∠ CEG，
∴△GEF ≌ △AEF，
∴GE=AE=DE=AD，
∴tan =tan∠ CEG=====2，
∴的正切值是 2 。
故结果为：2 。
【分析】对折问题基本上都是权等问题，因此，利用题中条件快速得到两组全等三角形，从而得出对应的线段相等是解题的关键。此题综合性较高，难度较大。
12．（2023·罗湖模拟）如图，在锐角三角形ABC中，tanA=，BC=，线段BD、CE分别是AC、AB边上的高线，连接DE，则三角形ADE面积的最大值是
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=，
∴∠A=60°，
∵线段BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴AD=AB，AE= AC，
∴，
又∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ADE=S△ABC，
∴当△ABC的面积最大时，△ADE的面积最大；
如图，作出△ABC的外接圆，点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，
∵BC=，
∴当点A为优弧BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的最大值为：，
∴△ADE面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】由特殊角的三角函数值求得∠A=60°，利用三角形的高的意义及三角形的内角和定理可求得∠ABD=∠ACE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得，进而根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得S△ADE=S△ABC，所以当△ABC的面积最大时，△ADE的面积最大；作出△ABC的外接圆，点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，由底一定高越大则三角形的面积越大及圆的对称性可得当点A为优弧BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，由一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形的面积计算方法可算出△ABC的面积，从而求出答案.
13．（2023·梧州模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，
∵GH⊥AF，
∴∠FEH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCH=90°，
∵∠FEH+∠EHK+∠HCF+∠CFE=360°，
∴∠EHK+∠CFE=180°，
∵∠AFB+∠CFE=180°，
∴∠AFB=∠EHK，
∴△ABF∽△EKH，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，
∴AB=CD=DE，∠EDK=60°，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，根据垂直定义得∠FEH=90°，由正方形的性质得∠FCH=90°，由四边形的内角和定理得∠EHK+∠CFE=180°，由邻补角定义及同角的补角相等得∠AFB=∠EHK，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABF∽△EKH，得，由正方形及等边三角形的性质得AB=CD=DE，∠EDK=60°，进而根据等量代换、正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出答案.
三、计算题
14．（2023·通辽）计算：．
【答案】解：，
，
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质可得原式=9+1-10，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
四、解答题
15．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
16．（2019·兴县模拟）小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从 出发，沿 方向以6海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 出发，沿南偏东60°方向，以15海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
（1）出发后 小时两船与港口 的距离相等；
（2）出发几小时后乙船在甲船的正东方向 （结果精确到0.1小时，参考数据：
【答案】（1）
（2）解：设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E，则点E在点P的正南方向，
在Rt△CEP中，∠CPE=45°，
∴PE=PC cos45°，
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
∴PE=PD cos60°，
∴PC cos45°=PD cos60°．
∴（81-6y）cos45°=15y cos60°，
解得：y≈4.9．
答：出发后约4.9小时乙船在甲船的正东方向．
【知识点】特殊角的三角函数值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，
根据题意得： ，
解这个方程得： ，
答：出发后 小时两船与港口P的距离相等；
【分析】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
五、综合题
17．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
18．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF=∠BEA，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180° ∠ABC=120°，
∴∠BAE=∠DAE=∠ABC=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠EAC=12∠DAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴AC⊥AB，∠ACB=90° ∠ABC=30°=∠EAC，
∴AE=CE，tan30°=tan∠ACB=ABAC即33=ABAC，
∴AB=33AC，
∵∠BAE=∠ABC，
∴AE=BE=CE，
∵△ABE的面积等于43，
∴S△ABC=12AC AB=12AC 33AC=36AC2=83，
∴平行线AB与DC间的距离AC=43．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形AECF是平行四边形，再结合AE=AF，得出四边形AECF是菱形即可；
（2）首先根据平行线和角平分线得出△ABE是等边三角形，再根据（1）的结论四边形AECF是菱形，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∠ACB=30°，且AE是斜边BC上的中线，可以得出△ABC的面积是△ABE面积的2倍，即△ABC的面积是再根据正切的定义以及30°角的正切值，得出最后根据Rt△ABC面积即可求得AC的长度，因为AC⊥AB，所以AC的长也就是AB与DC之间的距离。
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