2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，
∵米，
∴PA=米，
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。
2．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°， sinB＝，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，且，，
则在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.
4．（2023·文成模拟）一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵，
∴.
∵，，
∴，AB=2BD.
在中，，即，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由邻补角定义求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的三线合一得∠2的度数及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函数的定义可求出BD的长，从而即可求出AB的长.
5．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
6．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
7．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
8．（2023·扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，
∵△ABC是锐角三角形，
∴AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，
∵∠B=60°，AB=4，
∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，
∴BC＞2，
在Rt△BCE中，
，
∴2＜BC＜8，
∴BC的长可以是6.
故答案为：C
【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是锐角三角形，可得到AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范围，观察各选项可得答案.
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．（2023·明水模拟）在中，，，，为中点，为边上一动点，当构成的四边形有一组邻边相等时，则的长可以是 ．
【答案】2或3或（其中一个即可）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=；
当构成的四边形有一组邻边相等时，
当BC=BE=2时，
∴AE=AB-BE=4-2=2；
当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，
∴CD=DE=AD=，
∴AF=EF=AE，
在Rt△ADF中，，
解之：
∴AE=2AF=3；
当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，
∴BF=AB-AF=，
设EF=x，则，
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，
解之：
∴，
∴AE的长可以为2或3或
故答案为：2或3或
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同时可求出AD的长；再分情况讨论：当BC=BE=2时，根据AE=AB-BE，代入计算求出AE的长；当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到AD、AF的长，根据AE=2AF，可求出AE的长；当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到BF的长，设EF=x，可表示出BE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的长，即可求解.
11．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，
∴∠HAB=30°，
∴∠HAD+∠DAB=30°，
∵，
∴∠CAE+∠DAB=30°，
∴∠CAE=∠DAH，
∴
∵BH=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。
12．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
【答案】2.7
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，
∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴BD=EC，
在Rt△BOD中，∠BOD=45°，
由题意可知CE=BD=2，
在Rt△OCE中，∠COE=37°，
即，
解之：OE=2.7，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.
故答案为：2.7
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.
13．（2023·石家庄月考）如图，在等腰直角三角形中，，，于点，中线与相交于点，则
（1）的值为 ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点E作EM//AB交OC于点M，
∵中线AE与CO相交于点F，
∴
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OA=OB，
∵EM // AB，
∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，
∴△OCE△CBO，
∴，
同理可得：，
∵OA=OB，
∴，
故答案为：.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，
∴OC是△ABC斜边AB上的中线，
∴OA=OC，
∵AE是△ABC的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴，
∴tan∠OAF=，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出OC是△ABC斜边AB上的中线，再求出点F是△ABC的重心，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题
14．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
15．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．
【答案】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点作， 易得△BDC为等腰直角三角形，可得BD=BC=4， 根据tanA=可求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求解.
四、作图题
16．（2023·广东）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
（2）∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用过一点作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图作出AB边上的高.
（2）利用解直角三角形求出AE的长，根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.
五、综合题
17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
18．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接与交于O，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到，再运用勾股定理即可求出OA，进而即可求出AC和BD，从而根据平行四边形的面积公式即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·文成模拟）一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．8
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
10．（2023·明水模拟）在中，，，，为中点，为边上一动点，当构成的四边形有一组邻边相等时，则的长可以是 ．
11．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
12．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
13．（2023·石家庄月考）如图，在等腰直角三角形中，，，于点，中线与相交于点，则
（1）的值为 ；
（2） ．
三、解答题
14．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
15．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．
四、作图题
16．（2023·广东）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
五、综合题
17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
18．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，
∵米，
∴PA=米，
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°， sinB＝，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，且，，
则在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵，
∴.
∵，，
∴，AB=2BD.
在中，，即，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由邻补角定义求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的三线合一得∠2的度数及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函数的定义可求出BD的长，从而即可求出AB的长.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，
∵△ABC是锐角三角形，
∴AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，
∵∠B=60°，AB=4，
∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，
∴BC＞2，
在Rt△BCE中，
，
∴2＜BC＜8，
∴BC的长可以是6.
故答案为：C
【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是锐角三角形，可得到AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范围，观察各选项可得答案.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．【答案】2或3或（其中一个即可）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=；
当构成的四边形有一组邻边相等时，
当BC=BE=2时，
∴AE=AB-BE=4-2=2；
当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，
∴CD=DE=AD=，
∴AF=EF=AE，
在Rt△ADF中，，
解之：
∴AE=2AF=3；
当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，
∴BF=AB-AF=，
设EF=x，则，
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，
解之：
∴，
∴AE的长可以为2或3或
故答案为：2或3或
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同时可求出AD的长；再分情况讨论：当BC=BE=2时，根据AE=AB-BE，代入计算求出AE的长；当CD=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到AD、AF的长，根据AE=2AF，可求出AE的长；当BE=DE时，过点D作DF⊥AB于点F，可得到BF的长，设EF=x，可表示出BE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的长，即可求解.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，
∴∠HAB=30°，
∴∠HAD+∠DAB=30°，
∵，
∴∠CAE+∠DAB=30°，
∴∠CAE=∠DAH，
∴
∵BH=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。
12．【答案】2.7
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，
∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴BD=EC，
在Rt△BOD中，∠BOD=45°，
由题意可知CE=BD=2，
在Rt△OCE中，∠COE=37°，
即，
解之：OE=2.7，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.
故答案为：2.7
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点E作EM//AB交OC于点M，
∵中线AE与CO相交于点F，
∴
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OA=OB，
∵EM // AB，
∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，
∴△OCE△CBO，
∴，
同理可得：，
∵OA=OB，
∴，
故答案为：.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，
∴OC是△ABC斜边AB上的中线，
∴OA=OC，
∵AE是△ABC的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴，
∴tan∠OAF=，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出OC是△ABC斜边AB上的中线，再求出点F是△ABC的重心，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
14．【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
15．【答案】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点作， 易得△BDC为等腰直角三角形，可得BD=BC=4， 根据tanA=可求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求解.
16．【答案】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
（2）∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用过一点作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图作出AB边上的高.
（2）利用解直角三角形求出AE的长，根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.
17．【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接与交于O，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到，再运用勾股定理即可求出OA，进而即可求出AC和BD，从而根据平行四边形的面积公式即可求解。
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