2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·西山模拟）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·五华模拟）如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2023·碑林模拟）如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·玉溪模拟）如图，在中，，设所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·永康模拟） 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023·黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
8．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·呈贡模拟）在中，，，则 ．
10．（2023·长宁模拟）如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么 ．
11．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
12．（2023·南充）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 （填写序号）
13．（2023·长宁模拟）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为 ．（参考数据：）
三、解答题
14．（2023·徐汇模拟）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．
15．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
四、综合题
16．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
17．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CB，如图所示：由题意得四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥CB，先根据平行四边形的性质结合解直角三角形的知识即可得到AB的长，再结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得CG为直线DF的垂直平分线，
∴CE⊥DF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB=5，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴，
∴CE=2，
∴由勾股定理得，
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到CE⊥DF，再根据平行四边形的性质即可得到AD=CB=5，AD∥CB，进而根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的长，进而运用勾股定理即可求解。
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥AD于点H，
∵正方形BCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，∠DAO=45°，
∴cos∠DAO=cos45°=，
∴，
∵DE平分∠ADO，EO⊥BD，EH⊥AD，
∴EH=EO，
设EH=EO=x，则AE=-x，
在Rt△AEH中∠HAE=45°，
∴AH=EH=x，
由勾股定理得AH2+EH2=AE2，即x2+x2=（-x）2，
解得x= （负值已舍），
∴线段OE的长为 .
故答案为： .
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，由正方形性质得AC⊥BD，∠DAO=45°，由∠DAO的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AO=，由角平分线的性质得EH=EO，设EH=EO=x，则AE=-x，由等腰直角三角形性质得AH=EH=x，在Rt△AEH中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=，sinB=
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=ABsin∠B=asinα.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，再利用锐角三角函数的定义可求出AD的长.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∴，，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得，
∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得在中，，
故答案为：
【分析】根据题意直接运用解直角三角形的知识即可求解。
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴DB⊥CA，OA=OC，，
∵，
∴OC=OA=6，
由勾股定理得，
∵E是边的中点，
∴，
故答案为：5
【分析】先根据菱形的性质得到DB⊥CA，OA=OC，，再结合解直角三角形的知识即可得到OC=OA=6，再根据勾股定理求出BA的长，进而结合题意即可求解。
11．【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
12．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，
由折叠得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，
∴，
∴为定值，①正确；
∵，
∴，
∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，
∴BM∥B'N，MB'∥BC，
∴四边形为平行四边形，
∵B'N=BN，
∴四边形为菱形，②正确；
如图：点N与C重合，
∵，
∴∠DCB=90°，
由折叠可知BC=B'C，
∴∠B'CA=30°，CB'=CA，
∴∠CB'A=∠B'AC=75°，
∴，③错误；
当最短时，DC⊥AB'，
过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，如图所示：
∵∠B'CA=30°，CA=2，
∴，
∴由勾股定理得，
由折叠得，
设NB=NB'=x，则NC=2-x，
由勾股定理得，
解得，
设BE为a，则
由勾股定理得，
∴（等面积法），
解得，
∴，④正确，
故答案为：①②④
【分析】①先根据等边三角形得到性质结合折叠的性质即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，进而结合题意即可求解；②先根据锐角三角函数的定义即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再运用平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定即可求解；③根据折叠的性质即可得到BC=B'C，再结合题意即可求解；④当最短时，DC⊥AB'，过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求出，再运用折叠的性质即可得到，设NB=NB'=x，则NC=2-x，运用勾股定理即可求出BN的长，设BE为a，则根据勾股定理结合三角形的等面积法即可求出a的值，进而即可求解。
13．【答案】4.96m
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，如图所示：
由折叠可知∠ACB=∠ACM，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴∠D=76°，AB∥CD，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACM，
∴△CNA为等腰三角形，
∴CN=AN，
设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，
∴a+2(a+10°)+76°=180°，
解得a=28°，
∴∠MCB=76°，
∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，
∴BC=EB+EF+CF=1.48m，
∴平行四边形的周长为2×（1+1.48）=4.96m，
故答案为：4.96m
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，先根据折叠的性质得到∠ACB=∠ACM，再根据平行四边形的性质得到∠D=76°，AB∥CD，进而根据平行线的性质结合题意得到∠CAD=∠ACM，再根据等腰三角形的判定与性质得到CN=AN，设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，运用三角形内角和定理即可求出a的值，进而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形结合平行四边形的周长公式即可求解。
14．【答案】解：在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】设，利用勾股定理可得AC=12k，利用线段的和差求出，再结合，可得，求出k的值，最后求出CD的长即可。
15．【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
16．【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
17．【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·西山模拟）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CB，如图所示：由题意得四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥CB，先根据平行四边形的性质结合解直角三角形的知识即可得到AB的长，再结合题意即可求解。
2．（2023·五华模拟）如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得CG为直线DF的垂直平分线，
∴CE⊥DF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB=5，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴，
∴CE=2，
∴由勾股定理得，
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到CE⊥DF，再根据平行四边形的性质即可得到AD=CB=5，AD∥CB，进而根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的长，进而运用勾股定理即可求解。
3．（2023·碑林模拟）如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥AD于点H，
∵正方形BCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，∠DAO=45°，
∴cos∠DAO=cos45°=，
∴，
∵DE平分∠ADO，EO⊥BD，EH⊥AD，
∴EH=EO，
设EH=EO=x，则AE=-x，
在Rt△AEH中∠HAE=45°，
∴AH=EH=x，
由勾股定理得AH2+EH2=AE2，即x2+x2=（-x）2，
解得x= （负值已舍），
∴线段OE的长为 .
故答案为： .
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，由正方形性质得AC⊥BD，∠DAO=45°，由∠DAO的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AO=，由角平分线的性质得EH=EO，设EH=EO=x，则AE=-x，由等腰直角三角形性质得AH=EH=x，在Rt△AEH中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
4．（2023·玉溪模拟）如图，在中，，设所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=，sinB=
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
5．（2023·永康模拟） 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=ABsin∠B=asinα.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，再利用锐角三角函数的定义可求出AD的长.
6．（2023·黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∴，，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得，
∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
二、填空题
9．（2023·呈贡模拟）在中，，，则 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得在中，，
故答案为：
【分析】根据题意直接运用解直角三角形的知识即可求解。
10．（2023·长宁模拟）如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴DB⊥CA，OA=OC，，
∵，
∴OC=OA=6，
由勾股定理得，
∵E是边的中点，
∴，
故答案为：5
【分析】先根据菱形的性质得到DB⊥CA，OA=OC，，再结合解直角三角形的知识即可得到OC=OA=6，再根据勾股定理求出BA的长，进而结合题意即可求解。
11．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
12．（2023·南充）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，
由折叠得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，
∴，
∴为定值，①正确；
∵，
∴，
∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，
∴BM∥B'N，MB'∥BC，
∴四边形为平行四边形，
∵B'N=BN，
∴四边形为菱形，②正确；
如图：点N与C重合，
∵，
∴∠DCB=90°，
由折叠可知BC=B'C，
∴∠B'CA=30°，CB'=CA，
∴∠CB'A=∠B'AC=75°，
∴，③错误；
当最短时，DC⊥AB'，
过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，如图所示：
∵∠B'CA=30°，CA=2，
∴，
∴由勾股定理得，
由折叠得，
设NB=NB'=x，则NC=2-x，
由勾股定理得，
解得，
设BE为a，则
由勾股定理得，
∴（等面积法），
解得，
∴，④正确，
故答案为：①②④
【分析】①先根据等边三角形得到性质结合折叠的性质即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，进而结合题意即可求解；②先根据锐角三角函数的定义即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再运用平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定即可求解；③根据折叠的性质即可得到BC=B'C，再结合题意即可求解；④当最短时，DC⊥AB'，过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求出，再运用折叠的性质即可得到，设NB=NB'=x，则NC=2-x，运用勾股定理即可求出BN的长，设BE为a，则根据勾股定理结合三角形的等面积法即可求出a的值，进而即可求解。
13．（2023·长宁模拟）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为 ．（参考数据：）
【答案】4.96m
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，如图所示：
由折叠可知∠ACB=∠ACM，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴∠D=76°，AB∥CD，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACM，
∴△CNA为等腰三角形，
∴CN=AN，
设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，
∴a+2(a+10°)+76°=180°，
解得a=28°，
∴∠MCB=76°，
∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，
∴BC=EB+EF+CF=1.48m，
∴平行四边形的周长为2×（1+1.48）=4.96m，
故答案为：4.96m
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，先根据折叠的性质得到∠ACB=∠ACM，再根据平行四边形的性质得到∠D=76°，AB∥CD，进而根据平行线的性质结合题意得到∠CAD=∠ACM，再根据等腰三角形的判定与性质得到CN=AN，设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，运用三角形内角和定理即可求出a的值，进而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形结合平行四边形的周长公式即可求解。
三、解答题
14．（2023·徐汇模拟）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．
【答案】解：在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】设，利用勾股定理可得AC=12k，利用线段的和差求出，再结合，可得，求出k的值，最后求出CD的长即可。
15．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
四、综合题
16．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
17．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
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