2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
2．（2023·官渡模拟）松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
3．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·朝阳模拟）如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2023·长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
7．（2023·十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
10．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
11．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
12．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
13．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
15．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
四、综合题
16．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
17．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度，
∴AC=60m，
由勾股定理得m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt中，
，，
，
米，
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数先求出，再求解即可。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，AB=5，
∴AC=5.
∵AB=5，∠BDA=30°，
∴AD=AB÷tan30°=5÷=，
∴CD=AD-AC=-5≈3.66.
故答案为：D.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ABD中，由三角函数的概念求出AC、AD，然后根据CD=AD-AC进行计算.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
13．【答案】9.9
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，
千米，，
(千米)，
(千米)，
，
(千米)，
(千米)，
故答案为：9.9.
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，结合题意构造合适的直角三角形是解题关键.
14．【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．【答案】解：方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。
16．【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
17．【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
2．（2023·官渡模拟）松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度，
∴AC=60m，
由勾股定理得m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
3．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
4．（2023·朝阳模拟）如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt中，
，，
，
米，
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数先求出，再求解即可。
5．（2023·长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
6．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
7．（2023·十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，AB=5，
∴AC=5.
∵AB=5，∠BDA=30°，
∴AD=AB÷tan30°=5÷=，
∴CD=AD-AC=-5≈3.66.
故答案为：D.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ABD中，由三角函数的概念求出AC、AD，然后根据CD=AD-AC进行计算.
8．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
11．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
12．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
13．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．
【答案】9.9
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，
千米，，
(千米)，
(千米)，
，
(千米)，
(千米)，
故答案为：9.9.
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，结合题意构造合适的直角三角形是解题关键.
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】解：方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。
四、综合题
16．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
17．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
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