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2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 解直角三角形的应用 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·清新期中）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡长为米，到塔底的水平距离为米图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度约为米结果精确到米，参考数据：，，（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，
由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.
∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，
设CE=x，则ED=2.4x，
∴x2+(2.4x)2=262，
解得x=10，
∴BF=CE=10，ED=24.
∵∠AFD=90°，FD=EF+ED=33，∠ADF=53°，
∴AF=FD·tan53°=33×=44，
∴AB=AF-BF=44-10=34.
故答案为：C.
【分析】延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，设CE=x，则ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函数的概念可得AF，然后根据AB=AF-BF进行计算.
2．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
3．（2023·昆明模拟）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度是1：2，
∴，
∴AC=10米，
故答案为：D
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
4．（2023·双柏模拟）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵AB=6，∠A=∠α，∠C=90°
∴在Rt△ACB中cosα=
即：AC=AB·cosα=6·cosα
故答案为A
【分析】有直角三角形中余弦公式直接求解。
5．（2023八上·绍兴月考）如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．6米 D．24米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2 ，
AC=12m，
BC：AC=1：2=BC：12
BC=6m，
m.
故答案为：C.
【分析】根据 迎水坡AB的坡比推出AC，得到BC，通过勾股定理得到AB的长.
6．（2023·双阳模拟）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】在中求AB的距离，可以利用已知的边长AC和合适的锐角三角函数求得．
7．（2023·九台模拟）如图，为了量取垂直于地面的树高，测量员站在距树6米的点C处，用倾角仪量得树顶端A的仰角为α．若测倾角仪离地面高为2米，则树高的高可表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵OD=BC=6，
∴OA=6tanα，
∴AB=米
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义解直角三角形，结合题意即可求解。
8．（2023·烈山模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF = 2FM=，
∴当GM的值最小时，EF的值最大，
∵A (6，0)，B (0，8)，
∴AB=10，
∴sin ∠OAB =，
∴OM=4.8，
∵CD=6，
∴OG=3，
∴GM =OM-OG=1.8，
∴FM=2.4，
∴EF =2FM= 4.8，
故答案为：B.
【分析】先作图，再利用勾股定理求出EF = 2FM=，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题
9．（2023九下·孝南月考）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为 m（结果保留整数，）．
【答案】328
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，
∴BD=120m.
∵∠CAD=60°，AD=120，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=120+≈328.
故答案为：328.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根据三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
10．（2023七下·光明期中）如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，
∴∠AFB=∠EAC=60°.
∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.
故答案为：75°.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用内角和定理进行计算.
11．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，
，
四边形BCKE是平行四边形，
BE=CK，BC=EK，
BH=EP，
，
，四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD=275cm，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.
12．（2023九下·衢江月考）衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得，则的距离为 米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了 分钟.
【答案】；或
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，
易得四边形OCEF是矩形，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如图，连接AC，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，
①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，，
由旋转不变性知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴从A移动到A1处，用了（周），
∴经过了（分钟）；
②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，，
由旋转不变性知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴从A移动到A2处，用了（周），
∴经过了（分钟）；
综上，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了或分钟.
故答案为：；或.
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点O作OF⊥AE于点F，易得四边形OCEF是矩形，由矩形的性质得OF∥CE，OF=CE，由二直线平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，进而根据∠AOF的余弦函数可求出OF，由∠APC的正切函数可求出PE，进而由PC=PE-CE计算即可；连接AC，由三角形的内角和定理得∠POC=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°；当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，∠FA1B1=45°，由旋转性质得∠OA1B1=45°，根据角的和差算出∠OA1F=75°，由平行线的性质得∠MFP=30°，根据三角形内角和定理得∠AOA1=75°，从而即可求出从A移动到A1处旋转的时间；②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，得∠MA2B2=45°，由旋转性质得∠OA2B2=30°，由∠ 的和差算出∠MA2O的度数，进而根据平行线的性质得∠AGA2的度数，最后根据三角形外角性质可算出∠AOA2的度数，从而即可求出从A移动到A2处旋转的时间，综上即可得出答案.
13．（2023·鹿城模拟）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变.如图2，当门闭合时，，则的长为 cm.如图3，门板绕点O旋转，当时，点D到门框的距离，则的长为 cm.
【答案】18；8
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，E为垂足，
，
，
，
，
，
，
；
如图，连接AC，作CF⊥AK，F为垂足，E为C的对应点，
，
，
，
，
设，则，
，
由题空1得：，，
，
又
，
，
即：，
整理得：，
解得：，（舍去），
.
故答案为：18，8.
【分析】过A作AE⊥BC，E为垂足，由∠B的正弦函数的定义可求出AE的长，进而用勾股定理算出BE的长，由线段的和差算出CE的长，再根据勾股定理算出AC的长；连接AC，作CF⊥AK，F为垂足，E为C的对应点，由平行线分线段成比例定理得，设OC=13x，则CF=12x，用勾股定理表示出OF，进而表示出AF，再用勾股定理算出AC，最后根据勾股定理建立方程可求出x，从而即可得出OC的长.
三、解答题
14．（2023·通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
【答案】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】设AB与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意得∠A=72°，∠B=40°，AP=100，利用三角函数的概念可得PC、PB，据此解答.
15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：
则，
∵斜面的坡度为，
∴设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
即，
∵为水平方向，为竖直方向，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古树的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
四、综合题
16．（2023·衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形为矩形，再利用矩形的性质求出米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出EG=24米，再利用锐角三角函数求出DH的值，最后计算求解即可。
17．（2023·吉安模拟）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．
（参考数据：，，，，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）
【答案】（1）解：过点C作于点F，
设，则，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
∵米米，
∴此遮阳棚使得人进出时具有安全感．
（2）解：由（2）可得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
答：此遮阳棚延展后的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定求出四边形为矩形， 再求出 ， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出BE=0.6m，再利用锐角三角函数求出 ， 最后计算求解即可。
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2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 解直角三角形的应用 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·清新期中）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡长为米，到塔底的水平距离为米图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度约为米结果精确到米，参考数据：，，（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·昆明模拟）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
4．（2023·双柏模拟）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为（ ）米
A． B． C． D．
5．（2023八上·绍兴月考）如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．6米 D．24米
6．（2023·双阳模拟）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·九台模拟）如图，为了量取垂直于地面的树高，测量员站在距树6米的点C处，用倾角仪量得树顶端A的仰角为α．若测倾角仪离地面高为2米，则树高的高可表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．（2023·烈山模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·孝南月考）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为 m（结果保留整数，）．
10．（2023七下·光明期中）如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．
11．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为
12．（2023九下·衢江月考）衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得，则的距离为 米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了 分钟.
13．（2023·鹿城模拟）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变.如图2，当门闭合时，，则的长为 cm.如图3，门板绕点O旋转，当时，点D到门框的距离，则的长为 cm.
三、解答题
14．（2023·通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．
四、综合题
16．（2023·衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
17．（2023·吉安模拟）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．
（参考数据：，，，，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，
由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.
∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，
设CE=x，则ED=2.4x，
∴x2+(2.4x)2=262，
解得x=10，
∴BF=CE=10，ED=24.
∵∠AFD=90°，FD=EF+ED=33，∠ADF=53°，
∴AF=FD·tan53°=33×=44，
∴AB=AF-BF=44-10=34.
故答案为：C.
【分析】延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，设CE=x，则ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函数的概念可得AF，然后根据AB=AF-BF进行计算.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度是1：2，
∴，
∴AC=10米，
故答案为：D
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵AB=6，∠A=∠α，∠C=90°
∴在Rt△ACB中cosα=
即：AC=AB·cosα=6·cosα
故答案为A
【分析】有直角三角形中余弦公式直接求解。
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2 ，
AC=12m，
BC：AC=1：2=BC：12
BC=6m，
m.
故答案为：C.
【分析】根据 迎水坡AB的坡比推出AC，得到BC，通过勾股定理得到AB的长.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】在中求AB的距离，可以利用已知的边长AC和合适的锐角三角函数求得．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵OD=BC=6，
∴OA=6tanα，
∴AB=米
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义解直角三角形，结合题意即可求解。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF = 2FM=，
∴当GM的值最小时，EF的值最大，
∵A (6，0)，B (0，8)，
∴AB=10，
∴sin ∠OAB =，
∴OM=4.8，
∵CD=6，
∴OG=3，
∴GM =OM-OG=1.8，
∴FM=2.4，
∴EF =2FM= 4.8，
故答案为：B.
【分析】先作图，再利用勾股定理求出EF = 2FM=，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】328
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，
∴BD=120m.
∵∠CAD=60°，AD=120，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=120+≈328.
故答案为：328.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根据三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
10．【答案】75°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，
∴∠AFB=∠EAC=60°.
∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.
故答案为：75°.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用内角和定理进行计算.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，
，
四边形BCKE是平行四边形，
BE=CK，BC=EK，
BH=EP，
，
，四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD=275cm，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.
12．【答案】；或
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，
易得四边形OCEF是矩形，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如图，连接AC，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，
①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，，
由旋转不变性知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴从A移动到A1处，用了（周），
∴经过了（分钟）；
②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，，
由旋转不变性知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴从A移动到A2处，用了（周），
∴经过了（分钟）；
综上，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了或分钟.
故答案为：；或.
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点O作OF⊥AE于点F，易得四边形OCEF是矩形，由矩形的性质得OF∥CE，OF=CE，由二直线平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，进而根据∠AOF的余弦函数可求出OF，由∠APC的正切函数可求出PE，进而由PC=PE-CE计算即可；连接AC，由三角形的内角和定理得∠POC=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°；当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，∠FA1B1=45°，由旋转性质得∠OA1B1=45°，根据角的和差算出∠OA1F=75°，由平行线的性质得∠MFP=30°，根据三角形内角和定理得∠AOA1=75°，从而即可求出从A移动到A1处旋转的时间；②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，得∠MA2B2=45°，由旋转性质得∠OA2B2=30°，由∠ 的和差算出∠MA2O的度数，进而根据平行线的性质得∠AGA2的度数，最后根据三角形外角性质可算出∠AOA2的度数，从而即可求出从A移动到A2处旋转的时间，综上即可得出答案.
13．【答案】18；8
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，E为垂足，
，
，
，
，
，
，
；
如图，连接AC，作CF⊥AK，F为垂足，E为C的对应点，
，
，
，
，
设，则，
，
由题空1得：，，
，
又
，
，
即：，
整理得：，
解得：，（舍去），
.
故答案为：18，8.
【分析】过A作AE⊥BC，E为垂足，由∠B的正弦函数的定义可求出AE的长，进而用勾股定理算出BE的长，由线段的和差算出CE的长，再根据勾股定理算出AC的长；连接AC，作CF⊥AK，F为垂足，E为C的对应点，由平行线分线段成比例定理得，设OC=13x，则CF=12x，用勾股定理表示出OF，进而表示出AF，再用勾股定理算出AC，最后根据勾股定理建立方程可求出x，从而即可得出OC的长.
14．【答案】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】设AB与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意得∠A=72°，∠B=40°，AP=100，利用三角函数的概念可得PC、PB，据此解答.
15．【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：
则，
∵斜面的坡度为，
∴设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
即，
∵为水平方向，为竖直方向，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古树的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形为矩形，再利用矩形的性质求出米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出EG=24米，再利用锐角三角函数求出DH的值，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：过点C作于点F，
设，则，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
∵米米，
∴此遮阳棚使得人进出时具有安全感．
（2）解：由（2）可得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
答：此遮阳棚延展后的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定求出四边形为矩形， 再求出 ， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出BE=0.6m，再利用锐角三角函数求出 ， 最后计算求解即可。
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