2023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 特殊二次函数的图像 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·中山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·义乌模拟）抛物线y＝2（x+3）2-1的顶点坐标是（ ）
A．（3，-1） B．（-3，1） C．（-3，-1） D．（3，1）
3．（2023·松北模拟）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·南海模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2023·蚌埠模拟）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·平房模拟）下列二次函数中，其图象的顶点坐标是的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·邢台模拟）关于抛物线：与：，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线通过平移可以与重合
C．抛物线与的对称轴相同
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
8．（2023·松江模拟）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．与y轴的交点是
C．顶点是 D．对称轴是直线
二、填空题
9．（2023·增城模拟）抛物线的对称轴是直线 ．
10．（2023·昔阳模拟）二次函数的顶点坐标是 ．
11．（2023·岳阳模拟）二次函数的顶点坐标是 .
12．（2023·高明模拟）根据函数和的图像写出一个满足的值，那可能是 .
13．（2023九下·咸宁月考）以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为 ．
三、解答题
14．（2022九上·汉阴月考）已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
四、综合题
15．（2023·昭通模拟）已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于两点，，且图象过四点，直接写出的大小关系．
（3）点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式．
16．（2023·金山模拟）如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点，若的面积为6，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=2(x-1)2+3的顶点坐标为（1，3）.
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y＝2（x+3）2-1的顶点坐标是（-3，-1）.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：C
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：B．
【分析】根据函数解析式直接求出函数对称轴即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A．的图象的顶点坐标为，不符合题意；
B．的图象的顶点坐标为，不符合题意；
C．的图象的顶点坐标为，符合题意；
D．的图象的顶点坐标为，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据所给的顶点坐标，再结合函数解析式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：与的形状相同，故A不符合题意；
将抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B不符合题意；
抛物线关于y轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C符合题意；
当时，，故抛物线与x轴有两个交点，当时，，故抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、抛物线中，，图像开口向下，故A不符合题意；
B、令，函数值，则抛物线与y轴的交点是，故B不符合题意；
C、根据顶点式得，抛物线的顶点为，故C不符合题意；
D、抛物线的对称轴是直线，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的顶点式逐项判断即可。
9．【答案】x=2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2.
故答案为：x-2.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为x=h，据此解答.
10．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
11．【答案】（-4，6）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标是为，
故答案为：.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
12．【答案】（答案不唯一，只要是0＜x＜1都可以）
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0x>x2，故可取x=.
故答案为：.（答案不唯一）
【分析】由图象可得：当0x>x2，据此解答.
13．【答案】(4，-3)
【知识点】坐标与图形性质；图形的旋转；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由抛物线可知顶点坐标为，所以该顶点关于原点顺时针旋转如图所示：
分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为点C、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点；
故答案为．
【分析】由抛物线的解析式可知顶点坐标为（3，4），作出旋转后的图形，分别过点A、B作AC⊥y轴，BD⊥y轴，垂足分别为点C、D，根据同角的余角相等可得∠CAO=∠DOB，利用AAS证明△ACO≌△BDO，得到OD=AC=3，BD=CO=4，据此可得点B的坐标.
14．【答案】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-m），然后代入y=x+3中进行验证即可.
15．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：．
（3）解：当时，抛物线开口向上，时，随增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
当时，抛物线开口向下，时，随增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，或．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：(2)由（1）得抛物线对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
∵，
∴，
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝-2时，n＝-1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝-2时，n＝1，m＝1时，n＝-1，进而求解．
16．【答案】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴正半轴交于点A，
∴，
解得（舍去），，
∴点；
（2）解：设与交于点H，
∵抛物线解析式为，
∴顶点，
∵，
∴，
∵，
即，
解得，
∴点．
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）先求出函数解析式，再将y=0代入可得，求出x的值，即可得到点A的坐标；
（2）设与交于点H，根据，可得，求出m的值，即可得到点P的坐标。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 特殊二次函数的图像 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·中山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=2(x-1)2+3的顶点坐标为（1，3）.
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．（2023·义乌模拟）抛物线y＝2（x+3）2-1的顶点坐标是（ ）
A．（3，-1） B．（-3，1） C．（-3，-1） D．（3，1）
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y＝2（x+3）2-1的顶点坐标是（-3，-1）.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
3．（2023·松北模拟）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：C
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
4．（2023·南海模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：B．
【分析】根据函数解析式直接求出函数对称轴即可。
5．（2023·蚌埠模拟）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．（2023·平房模拟）下列二次函数中，其图象的顶点坐标是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A．的图象的顶点坐标为，不符合题意；
B．的图象的顶点坐标为，不符合题意；
C．的图象的顶点坐标为，符合题意；
D．的图象的顶点坐标为，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据所给的顶点坐标，再结合函数解析式求解即可。
7．（2023·邢台模拟）关于抛物线：与：，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线通过平移可以与重合
C．抛物线与的对称轴相同
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：与的形状相同，故A不符合题意；
将抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B不符合题意；
抛物线关于y轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C符合题意；
当时，，故抛物线与x轴有两个交点，当时，，故抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
8．（2023·松江模拟）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．与y轴的交点是
C．顶点是 D．对称轴是直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、抛物线中，，图像开口向下，故A不符合题意；
B、令，函数值，则抛物线与y轴的交点是，故B不符合题意；
C、根据顶点式得，抛物线的顶点为，故C不符合题意；
D、抛物线的对称轴是直线，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的顶点式逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023·增城模拟）抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】x=2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2.
故答案为：x-2.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为x=h，据此解答.
10．（2023·昔阳模拟）二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
11．（2023·岳阳模拟）二次函数的顶点坐标是 .
【答案】（-4，6）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标是为，
故答案为：.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
12．（2023·高明模拟）根据函数和的图像写出一个满足的值，那可能是 .
【答案】（答案不唯一，只要是0＜x＜1都可以）
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0x>x2，故可取x=.
故答案为：.（答案不唯一）
【分析】由图象可得：当0x>x2，据此解答.
13．（2023九下·咸宁月考）以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为 ．
【答案】(4，-3)
【知识点】坐标与图形性质；图形的旋转；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由抛物线可知顶点坐标为，所以该顶点关于原点顺时针旋转如图所示：
分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为点C、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点；
故答案为．
【分析】由抛物线的解析式可知顶点坐标为（3，4），作出旋转后的图形，分别过点A、B作AC⊥y轴，BD⊥y轴，垂足分别为点C、D，根据同角的余角相等可得∠CAO=∠DOB，利用AAS证明△ACO≌△BDO，得到OD=AC=3，BD=CO=4，据此可得点B的坐标.
三、解答题
14．（2022九上·汉阴月考）已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
【答案】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-m），然后代入y=x+3中进行验证即可.
四、综合题
15．（2023·昭通模拟）已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于两点，，且图象过四点，直接写出的大小关系．
（3）点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：．
（3）解：当时，抛物线开口向上，时，随增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
当时，抛物线开口向下，时，随增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，或．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：(2)由（1）得抛物线对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
∵，
∴，
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝-2时，n＝-1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝-2时，n＝1，m＝1时，n＝-1，进而求解．
16．（2023·金山模拟）如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点，若的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴正半轴交于点A，
∴，
解得（舍去），，
∴点；
（2）解：设与交于点H，
∵抛物线解析式为，
∴顶点，
∵，
∴，
∵，
即，
解得，
∴点．
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）先求出函数解析式，再将y=0代入可得，求出x的值，即可得到点A的坐标；
（2）设与交于点H，根据，可得，求出m的值，即可得到点P的坐标。
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