2023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 特殊二次函数的图像 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2022九上·海淀期末）若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
3．（2023九上·金东期末）抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·东莞期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·江城期末）抛物线的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·余杭月考）抛物线y＝（x-3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（3，-1） B．（3，1） C．（-3、-1） D．（-3，1）
7．（2022九上·黄浦月考）抛物线顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019九上·辽源期末）已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．（2023九上·嵊州期末）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
10．（2023九上·滨江期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 .
11．（2019九上·天台月考）已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 .
12．（2021九上·铁锋期末）如图，在矩形中，点N为边上不与B、C重合的一个动点，过点N作交于点M，交于点E，以为对称轴折叠矩形，点A、B的对应点分别是G、F，连接、，若，，当为直角三角形时，的长为 ．
13．（2021九上·台州期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中点C是顶点，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ，FG= ，CE= ．( 写出其中两个即可）
三、解答题
14．（2022九上·汉阴月考）已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
15．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
四、综合题
16．（2021九上·南部月考）如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得 PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2019九上·红安月考）如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m) (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2)
（1）求该抛物线的解析式
（2）在(1)的条件下，求△BCE的面积
（3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐标。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，
则
B. 若，如图所示，
则
则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故答案为：C.
【分析】画出函数的图象，根据各个选项中的条件结合图象确定出C1、C2的大小，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线顶点式的特征可得。
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2-4x+1的对称轴为直线.
故答案为：C
【分析】利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线，代入计算可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的顶点坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y＝ （x-3）2+1的顶点坐标为（3，1）.
故答案为：B.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y= ，则k的值为3。
【分析】利用顶点式及取值范围，可画出函数图象，从而得出x=3时满足题意，进而解得k。
9．【答案】b≤1或b≥2
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：b≤1或b≥2.
故答案为：b≤1或b≥2.
【分析】根据二次函数的表达式可得对称轴为直线x=2，由题意可得x≤2或x≥2，然后结合b≤x≤b+1可得关于b的不等式组，求解可得b的范围.
10．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为：或.
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2，据此可得对应的解析式.
11．【答案】y=1 2x2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2x2+bx+1=(x+)2+,
的顶点坐标是( ,)，
设x= ,y=，
∴b= 4x，
∴y===1 2x2.
∴所求抛物线的解析式为：y=1 2x2.
故答案为：y=1 2x2.
【分析】用含b的代数式表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．
12．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB=CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴，
由折叠得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN，
当△DEF为直角三角形时：
①当∠DEF=90°时，则∠BEN=∠FEN=45°，不合题意；
②当∠EFD=90°时，如图所示，
∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，
又∵∠DCB=∠DCB=90°，
∴∽，
∴，
设CN=x，则BN=NF=4－x，CF=x－(4－x)=2x－4，
∴，
∴，即；
③当∠EDF=90°时，如图所示，
∵∠BDC+∠FDC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠FDC=∠DBC，
又∵∠DCB=∠DCF=90°，
∴∽，
∴，
设CN=x，则BN=NF=4－x，CF=(4－x)－x=4－2x，
∴，
∴，即，
综上所述，CN的长为或．
故答案为：或．
【分析】当△DEF为直角三角形时，可分三种情况：①当∠DEF=90°时，则∠BEN=∠FEN=45°，不合题意；②当∠EFD=90°时，③当∠EDF=90°时，根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质分别求解即可.
13．【答案】；；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：∠COD=60°，
则∠COB=∠DOB=30°，
∴∠AOE=30°，
过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，
∴AO=2a，OM=a，
∴点A的坐标为(-a，-a)，
设直线AB的解析式为y=kx，
则-a=-ak，
∴k=，
∴直线AB的解析式为：y=x，
当-x2+6=x，
解得x1=-2，x2=，
∴点A的坐标为(-2，-6)，点B的坐标为（，3），
∴AB==6，
令y=-x2+6=0，
解得x=±，
∵∠COD=60°，
∴∠COB=∠BOD=∠GOD=30°，
∴点B和点G关于OD对称，
∴OG=OB=2，
∴FG=OF+OG=+2，
设E点坐标为(0，m)，设E点旋转前的点为H点，则OH=m，
过点H作HN⊥x轴于点N，
∴∠HOE=60°，∠HON=30°，
∴HN=m，ON=m，
∴点H的坐标为（m，-m），
∵点H在抛物线 上，
∴，
解得m=，
∴点E的坐标为（0，），
∴OE=
∴CE=OC+OE=6+= .
故答案为： ， ， .
【分析】根据旋转的性质先求出有关角的度数，过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程求得点A、B的坐标，再利用两点间距离公式求AB长度，根据旋转的性质和对称性求OG长度，求抛物线与x轴的交点坐标，则可根据线段间和差关系求FG；设点的坐标为(0， m)，设点E旋转前的点为H，把点H的坐标用m表示，代入抛物线解析式求解，即可求出OE长，从而求出CE.
14．【答案】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-m），然后代入y=x+3中进行验证即可.
15．【答案】解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】二次项系数不为1时，需提取出二次项系数，然后在原式的基础上加上一次项系数的一半的平方再减去一次项系数的一半的平方，可配成y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，a<0.开口向下，进而求出对称轴 ，顶点坐标.
16．【答案】（1）解：当x=0时，y=3，
∴点B坐标为（0，3），
∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，
∴设抛物线的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ，
当y=0时， ，
解得： ， ，
∵点A在x轴负半轴，
∴A（-1，0），C（3，0），
把A（-1，0）代入 得：-k+3=0，
解得：k=3．
（2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线x= ，
∵抛物线与x轴交于点A、C，
∴A、C关于对称轴对称，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴△PAB的周长的最小值为AB+BC，
∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴AB+BC= = ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点P坐标为（1，2）．
∴△PAB周长的最小值为 ，点P坐标为（1，2）．
（3）解：设点Q坐标为（1，m），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴AB= = ，QA= = ，QB= = ，
①当QA=AB时，
∴ = ，
解得：m= ，
∴Q1（1， ），Q2（1， ），
②当QB=AB时，
∴ = ，
解得：m=6或m=0，
∵直线AB的解析式为y=3x+3，
∴x=1时，y=6，
∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，
∴Q3（1，0），
③当QA=QB时，
∴ = ，
解得：m=1，
∴Q4（1，1），
综上所述：存在点Q，使 ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，0），Q4（1，1）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点间的距离；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】(1)令x=0， 可得点B坐标，根据顶点法设抛物线解析式为y= a(x- 1)2+4，把点B坐标代入求出a值，即可得出抛物线解析式，再令y=0可得点A坐标，代入y= kx+ 3求出k值即可；
(2)连接BC，交对称轴于P，根据(1)的抛物线解析式求出对称轴，则可求出点C坐标，根据二次函数图象的对称性得出PA=PC，可得PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，再利用勾股定理求出△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，再利用待定系数法求得直线BC解析式，令x=1求出点P坐标即可；
(3)设点Q坐标为(1， m)，分三种情况讨论，即QA=AB， QB=AB， QA=QB，分别根据两点间距离公式求出m的值，即可解答.
17．【答案】（1）解：将P点代入函数式得：
解得: m=4,
∴ 该抛物线的解析式为： .
（2）解： 由（1）得-(x+2)(x-4)=0,
解得x=-2或x=4,
∴B（-2,0），C（4,0），
∴BC=4-（-2）=6，
当x=0, y=2,
∴OE=2.
（3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，
∵，
则F（2,2）,
EH+BH=FH+HB=FB,
设直线FB的解析式为：y=kx+b,
∴
解得:,
故y= ,
当x=1, y=×1+1=，
∴H（1,）.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）把P点代入函数解析式求出m值，则可求出该抛物线的解析式；
（2）令y=0, 求出B、C点坐标，令x=0, 求出E点坐标，则OE和BE的长可求，代入面积公式即可求出面积；
（3）作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H， 这时EH+BH的值最小，求出F点坐标，连接BF交对称轴于点H，利用待定系数法求出BF的函数式，令x=1,即可求出H点坐标.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 特殊二次函数的图像 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，
则
B. 若，如图所示，
则
则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故答案为：C.
【分析】画出函数的图象，根据各个选项中的条件结合图象确定出C1、C2的大小，据此判断.
2．（2022九上·海淀期末）若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线顶点式的特征可得。
3．（2023九上·金东期末）抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2-4x+1的对称轴为直线.
故答案为：C
【分析】利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线，代入计算可求解.
4．（2022九上·东莞期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的顶点坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
5．（2022九上·江城期末）抛物线的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．（2022九上·余杭月考）抛物线y＝（x-3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（3，-1） B．（3，1） C．（-3、-1） D．（-3，1）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y＝ （x-3）2+1的顶点坐标为（3，1）.
故答案为：B.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
7．（2022九上·黄浦月考）抛物线顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
8．（2019九上·辽源期末）已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y= ，则k的值为3。
【分析】利用顶点式及取值范围，可画出函数图象，从而得出x=3时满足题意，进而解得k。
二、填空题
9．（2023九上·嵊州期末）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
【答案】b≤1或b≥2
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：b≤1或b≥2.
故答案为：b≤1或b≥2.
【分析】根据二次函数的表达式可得对称轴为直线x=2，由题意可得x≤2或x≥2，然后结合b≤x≤b+1可得关于b的不等式组，求解可得b的范围.
10．（2023九上·滨江期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 .
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为：或.
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2，据此可得对应的解析式.
11．（2019九上·天台月考）已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 .
【答案】y=1 2x2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2x2+bx+1=(x+)2+,
的顶点坐标是( ,)，
设x= ,y=，
∴b= 4x，
∴y===1 2x2.
∴所求抛物线的解析式为：y=1 2x2.
故答案为：y=1 2x2.
【分析】用含b的代数式表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．
12．（2021九上·铁锋期末）如图，在矩形中，点N为边上不与B、C重合的一个动点，过点N作交于点M，交于点E，以为对称轴折叠矩形，点A、B的对应点分别是G、F，连接、，若，，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB=CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴，
由折叠得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN，
当△DEF为直角三角形时：
①当∠DEF=90°时，则∠BEN=∠FEN=45°，不合题意；
②当∠EFD=90°时，如图所示，
∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，
又∵∠DCB=∠DCB=90°，
∴∽，
∴，
设CN=x，则BN=NF=4－x，CF=x－(4－x)=2x－4，
∴，
∴，即；
③当∠EDF=90°时，如图所示，
∵∠BDC+∠FDC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠FDC=∠DBC，
又∵∠DCB=∠DCF=90°，
∴∽，
∴，
设CN=x，则BN=NF=4－x，CF=(4－x)－x=4－2x，
∴，
∴，即，
综上所述，CN的长为或．
故答案为：或．
【分析】当△DEF为直角三角形时，可分三种情况：①当∠DEF=90°时，则∠BEN=∠FEN=45°，不合题意；②当∠EFD=90°时，③当∠EDF=90°时，根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质分别求解即可.
13．（2021九上·台州期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中点C是顶点，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ，FG= ，CE= ．( 写出其中两个即可）
【答案】；；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：∠COD=60°，
则∠COB=∠DOB=30°，
∴∠AOE=30°，
过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，
∴AO=2a，OM=a，
∴点A的坐标为(-a，-a)，
设直线AB的解析式为y=kx，
则-a=-ak，
∴k=，
∴直线AB的解析式为：y=x，
当-x2+6=x，
解得x1=-2，x2=，
∴点A的坐标为(-2，-6)，点B的坐标为（，3），
∴AB==6，
令y=-x2+6=0，
解得x=±，
∵∠COD=60°，
∴∠COB=∠BOD=∠GOD=30°，
∴点B和点G关于OD对称，
∴OG=OB=2，
∴FG=OF+OG=+2，
设E点坐标为(0，m)，设E点旋转前的点为H点，则OH=m，
过点H作HN⊥x轴于点N，
∴∠HOE=60°，∠HON=30°，
∴HN=m，ON=m，
∴点H的坐标为（m，-m），
∵点H在抛物线 上，
∴，
解得m=，
∴点E的坐标为（0，），
∴OE=
∴CE=OC+OE=6+= .
故答案为： ， ， .
【分析】根据旋转的性质先求出有关角的度数，过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程求得点A、B的坐标，再利用两点间距离公式求AB长度，根据旋转的性质和对称性求OG长度，求抛物线与x轴的交点坐标，则可根据线段间和差关系求FG；设点的坐标为(0， m)，设点E旋转前的点为H，把点H的坐标用m表示，代入抛物线解析式求解，即可求出OE长，从而求出CE.
三、解答题
14．（2022九上·汉阴月考）已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
【答案】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-m），然后代入y=x+3中进行验证即可.
15．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】二次项系数不为1时，需提取出二次项系数，然后在原式的基础上加上一次项系数的一半的平方再减去一次项系数的一半的平方，可配成y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，a<0.开口向下，进而求出对称轴 ，顶点坐标.
四、综合题
16．（2021九上·南部月考）如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得 PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x=0时，y=3，
∴点B坐标为（0，3），
∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，
∴设抛物线的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ，
当y=0时， ，
解得： ， ，
∵点A在x轴负半轴，
∴A（-1，0），C（3，0），
把A（-1，0）代入 得：-k+3=0，
解得：k=3．
（2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线x= ，
∵抛物线与x轴交于点A、C，
∴A、C关于对称轴对称，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴△PAB的周长的最小值为AB+BC，
∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴AB+BC= = ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点P坐标为（1，2）．
∴△PAB周长的最小值为 ，点P坐标为（1，2）．
（3）解：设点Q坐标为（1，m），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴AB= = ，QA= = ，QB= = ，
①当QA=AB时，
∴ = ，
解得：m= ，
∴Q1（1， ），Q2（1， ），
②当QB=AB时，
∴ = ，
解得：m=6或m=0，
∵直线AB的解析式为y=3x+3，
∴x=1时，y=6，
∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，
∴Q3（1，0），
③当QA=QB时，
∴ = ，
解得：m=1，
∴Q4（1，1），
综上所述：存在点Q，使 ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，0），Q4（1，1）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点间的距离；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】(1)令x=0， 可得点B坐标，根据顶点法设抛物线解析式为y= a(x- 1)2+4，把点B坐标代入求出a值，即可得出抛物线解析式，再令y=0可得点A坐标，代入y= kx+ 3求出k值即可；
(2)连接BC，交对称轴于P，根据(1)的抛物线解析式求出对称轴，则可求出点C坐标，根据二次函数图象的对称性得出PA=PC，可得PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，再利用勾股定理求出△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，再利用待定系数法求得直线BC解析式，令x=1求出点P坐标即可；
(3)设点Q坐标为(1， m)，分三种情况讨论，即QA=AB， QB=AB， QA=QB，分别根据两点间距离公式求出m的值，即可解答.
17．（2019九上·红安月考）如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m) (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2)
（1）求该抛物线的解析式
（2）在(1)的条件下，求△BCE的面积
（3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐标。
【答案】（1）解：将P点代入函数式得：
解得: m=4,
∴ 该抛物线的解析式为： .
（2）解： 由（1）得-(x+2)(x-4)=0,
解得x=-2或x=4,
∴B（-2,0），C（4,0），
∴BC=4-（-2）=6，
当x=0, y=2,
∴OE=2.
（3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，
∵，
则F（2,2）,
EH+BH=FH+HB=FB,
设直线FB的解析式为：y=kx+b,
∴
解得:,
故y= ,
当x=1, y=×1+1=，
∴H（1,）.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）把P点代入函数解析式求出m值，则可求出该抛物线的解析式；
（2）令y=0, 求出B、C点坐标，令x=0, 求出E点坐标，则OE和BE的长可求，代入面积公式即可求出面积；
（3）作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H， 这时EH+BH的值最小，求出F点坐标，连接BF交对称轴于点H，利用待定系数法求出BF的函数式，令x=1,即可求出H点坐标.
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