2023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 二次函数y = ax +bx+c的图像 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·宁波竞赛）设二次函数y＝x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1-y2＝a，y3-y4＝b，（ ）
A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＜7 B．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5
C．若ab＞0，且a+b＜0，则k＞3 D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞7
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2-kx+2k的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），
∴y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k.
∵y1-y2＝a，y3-y4＝b，
∴a=k-3，b=k-7.
若ab<0且a+b＜0，则(k-3)(k-7)<0且(k-3)+(k-7)<0，
解得3若ab<0且a+b>0，则(k-3)(k-7)<0且(k-3)+(k-7)>0，
解得5若ab>0且a+b＜0，则(k-3)(k-7)>0且(k-3)+(k-7)<0，
解得k<3，故C错误；
若ab>0且a+b>0，则(k-3)(k-7)>0且(k-3)+(k-7)>0，
解得k>7，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分别将x=1、2、3、4代入二次函数解析式中可得y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，由y1-y2＝a，y3-y4＝b可得a=k-3，b=k-7，根据各个选项中的条件可得关于k的不等式组，求出k的范围，进而进行判断.
2．（2023·澄城模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】线段上的两点间的距离；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x+3m=-(x-2)2+3m+4，
∴顶点坐标为（2，3m+4），
∴另一条抛物线的顶点坐标为（2，-3m-4）.
∵顶点相距6个单位长度，
∴|(3m+4)-(-3m-4)|=6，
解得m=或.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（2，3m+4），则另一条抛物线的顶点坐标为（2，-3m-4），根据顶点相距6个单位长度可得关于m的方程，求解即可.
3．（2023·铜仁模拟）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于A：由反比例函数的图象可得k<0，则二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在正半轴，满足题意；
对于B：由反比例函数的图象可得k<0，则二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在正半轴，不满足题意；
对于C：由反比例函数的图象可得k>0，则二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在负半轴，不满足题意；
对于D：由反比例函数的图象可得k>0，则二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在负半轴，不满足题意；
故答案为：A.
【分析】y=，当k>0时，图象位于一三象限；当k<0时，图象位于二四象限；
y=kx2-k，当k>0时，开口向上，与y轴的交点在负半轴；当k<0时，开口向下，与y轴的交点在正半轴.
4．（2023·亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴公式判断求解即可。
5．（2023·蜀山模拟）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】线段上的两点间的距离；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴，解得
将函数向下平移3个单位，得到的二次函数为
设点，则
中，当时，随的增大的值减小
当时，的值最小，从而OM的值最小，最小值为
故答案为C
【分析】根据题意先求出二次函数为，再在 的范围内确定OM长度的最小值即可求出答案
6．（2021九上·宜兴月考）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE＋EF＝C′E＋EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE＋EF最小，
由题意可得
，解得 ，
∴直线解析式为y= x+3；
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝ x＋，
由解得，
∴，
∴
即CE+EF的最小值是2.8.
故答案为：C.
【分析】设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE＋EF最小，由C点坐标可确定出C′，利用互相垂直的直线的斜率乘积等于-1及思安C'的坐标求出直线C'F的解析式，联立两直线解析式组成方程组，求解得出F点的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式即可求得CE＋EF的最小值．
7．（2023·增城模拟）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点、，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：作PE⊥x轴，QF⊥x轴，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0）、C（3，0），
∴设y=a(x-1)(x-3)，对称轴为直线x=2，顶点P的坐标为（2，-a），
∴PE=a.
∵抛物线y=ex2+fx+g经过点A（1，0）、C（6，0），
∴可设y=e(x-1)(x-6)，对称轴为直线x=3.5，顶点Q的坐标为（3.5，-6.25e），
∴QF=6.25e.
∵AB=2，AC=5，
∴AE=1，AF=2.5.
∵PE∥QF，
∴△APE∽△AQF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】作PE⊥x轴，QF⊥x轴，由题意可得两个抛物线的顶点坐标，然后表示出PE、QF，根据AB=2，AC=5可得AE=1，AF=2.5，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△APE∽△AQF，接下来利用相似三角形的性质进行计算.
8．（2021九上·上思期中）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，根据对称轴公式得出b=﹣2a，代 ① 化简即可判断 ① ；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，结合抛物线的对称轴为直线x=1，推出抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则可得出当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断②；正确；观察图象可得当x=1时，二次函数有最大值，可得ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，即可判断③；观察图象可得x=3时，一次函数值比二次函数值大，从而得出9a+3b+c＜﹣3+c，结合b=﹣2a，则可推出a＜﹣1，即可判断④.
二、填空题
9．（2023·凤凰模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 .
【答案】8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：如图，设抛物线的对称轴交x轴于点A，交抛物线于点B，过点B作轴于点C，则四边形为矩形，
∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，即.
故答案为：8.
【分析】设抛物线y=-x2-4x的对称轴交x轴于点A，交抛物线y=-x2于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，则四边形OABC为矩形，由抛物线的解析式可得顶点坐标为（-2，4），对称轴为直线x=-2，将x=-2代入y=-x2中求出y的值，进而不难求出阴影部分的面积.
10．（2023·梅州模拟）写出一个函数使其图像与反比例函数的图象有3个不同的交点 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：若要与反比例函数的图象有3个不同的交点，
这样的函数可以为二次函数，设，
如图，二次函数与反比例函数有3个交点，
可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
这样的函数可以是，
其中，，，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先求出函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，再求解即可。
11．（2023九下·靖江月考）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 .
【答案】1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函的图象经过点，
∴，
∴.
故答案为：1.
【分析】将（1，-2）代入y=ax2+bx-3中进行计算可得a+b的值.
12．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）， y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
13．（2021九上·柯桥月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）若点D、N均在此抛物线上，其中点D坐标为（2，﹣2），点N满足∠NBO＝∠ABO，P为平面上一点，则所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标有 （点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
【答案】（1）x2-3x
（2）（-，），（，）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
∴y=x2-3x，
故答案为：x2-3x.
（2）如图，过点D作DP1∥N1B1，
∵B（4，4），
∴直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A’的坐标为（0，3），
设直线A'B的解析式为y=kx+3，
∵B（4，4），
∴4k+3=4，解得k=，
∴直线A'B的解析式为y=x+3，
∵∠NBO=∠ABO，
∴点N在直线A'B上，
∴设点N（n，n+3），又点N在抛物线上，
∴n+3=n2-3n，
解得：n=-或4（与B点重合，不合题意），
∴点N的坐标为（-，），
将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（，），B1（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上，
∵ △P1OD∽△NOB ，
∴△P1OD∽△N1OB ，
∴P1是ON1的中点，
∴，
∴点P1的坐标为（-，），
将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得到另一个满足条件的点到x轴
距离等于P1到y轴的距离，点到y轴距离，
∴此点坐标为（，），
综上，点P的坐标是（-，），（，）.
故答案为：（-，），（，）.
【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）根据解方程组，可得N点坐标，求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
三、解答题
14．（2021七下·沐川期末）在等式中，当时，；当时，；时，.求、、的值.
【答案】解：把，；，；，分别代入得，解得
∴，，.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】分别将x=0、y=6；x=1、y=5；x=2、y=5代入y=ax2+bx+c中就可求出a、b、c的值.
15．（2020九上·莲湖月考）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： .
【答案】解：
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为( ，3).
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴直线为x=h即可直接得出答案.
四、综合题
16．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
17．（2023·鄂州模拟）如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
【答案】（1）①②③
（2）解：①，所以顶点
令顶点横坐标，纵坐标
即：Pn顶点满足关系式：y=x2+1
②令，
则，
∴
∵
结果与n无关，∴相邻两点之间距离为定值，定值为
③两线段不平行
【知识点】平行线的判定；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）令x=0，可得y1=y2=y3=1，故①正确；
抛物线y1、y2、y3的对称轴分别为x=、x=-1、x=，故②正确；
抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，则相邻两点之间的距离相等，均为1，故③正确.
故答案为：①②③.
（2）③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），
在Rt△DAnCn中，tan∠DAnCn==k+n，
在Rt△EAn-1Cn-1中，tan∠EAn-1Cn-1==k+n-1，
∴∠DAnCn≠∠EAn-1Cn-1，
∴CnAn与Cn-1An-1不平行.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，据此判断①；分别求出y1、y2、y3的对称轴，进而判断②；抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，据此判断③；
（2）①将yn解析式化为顶点式，可得Pn（，），令x=，则y==()2+1=x2+1，据此解答；
②令xn-1=-k-(n-1)=-k-n+1，yn-1=-xn-12-(n-1)xn-1+1，xn=-k-n，yn=-xn2-nxn+1，则Cn（xn，yn），Cn-1（xn-1，yn-1），xn-1-xn=1，yn-1-yn=-xn-12-(n-1)xn-1+1+xn2+nxn-1=k，然后根据进行解答；
③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），根据三角函数的概念可得tan∠DAnCn，tan∠EAn-1Cn-1 ，然后根据平行线的判定定理进行解答.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 二次函数y = ax +bx+c的图像 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·宁波竞赛）设二次函数y＝x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1-y2＝a，y3-y4＝b，（ ）
A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＜7 B．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5
C．若ab＞0，且a+b＜0，则k＞3 D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞7
2．（2023·澄城模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023·铜仁模拟）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·蜀山模拟）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2021九上·宜兴月考）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3
7．（2023·增城模拟）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点、，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·上思期中）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2023·凤凰模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 .
10．（2023·梅州模拟）写出一个函数使其图像与反比例函数的图象有3个不同的交点 ．
11．（2023九下·靖江月考）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 .
12．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
13．（2021九上·柯桥月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）若点D、N均在此抛物线上，其中点D坐标为（2，﹣2），点N满足∠NBO＝∠ABO，P为平面上一点，则所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标有 （点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
三、解答题
14．（2021七下·沐川期末）在等式中，当时，；当时，；时，.求、、的值.
15．（2020九上·莲湖月考）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： .
四、综合题
16．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
17．（2023·鄂州模拟）如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2-kx+2k的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），
∴y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k.
∵y1-y2＝a，y3-y4＝b，
∴a=k-3，b=k-7.
若ab<0且a+b＜0，则(k-3)(k-7)<0且(k-3)+(k-7)<0，
解得3若ab<0且a+b>0，则(k-3)(k-7)<0且(k-3)+(k-7)>0，
解得5若ab>0且a+b＜0，则(k-3)(k-7)>0且(k-3)+(k-7)<0，
解得k<3，故C错误；
若ab>0且a+b>0，则(k-3)(k-7)>0且(k-3)+(k-7)>0，
解得k>7，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分别将x=1、2、3、4代入二次函数解析式中可得y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，由y1-y2＝a，y3-y4＝b可得a=k-3，b=k-7，根据各个选项中的条件可得关于k的不等式组，求出k的范围，进而进行判断.
2．【答案】D
【知识点】线段上的两点间的距离；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x+3m=-(x-2)2+3m+4，
∴顶点坐标为（2，3m+4），
∴另一条抛物线的顶点坐标为（2，-3m-4）.
∵顶点相距6个单位长度，
∴|(3m+4)-(-3m-4)|=6，
解得m=或.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（2，3m+4），则另一条抛物线的顶点坐标为（2，-3m-4），根据顶点相距6个单位长度可得关于m的方程，求解即可.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于A：由反比例函数的图象可得k<0，则二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在正半轴，满足题意；
对于B：由反比例函数的图象可得k<0，则二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在正半轴，不满足题意；
对于C：由反比例函数的图象可得k>0，则二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在负半轴，不满足题意；
对于D：由反比例函数的图象可得k>0，则二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在负半轴，不满足题意；
故答案为：A.
【分析】y=，当k>0时，图象位于一三象限；当k<0时，图象位于二四象限；
y=kx2-k，当k>0时，开口向上，与y轴的交点在负半轴；当k<0时，开口向下，与y轴的交点在正半轴.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴公式判断求解即可。
5．【答案】C
【知识点】线段上的两点间的距离；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴，解得
将函数向下平移3个单位，得到的二次函数为
设点，则
中，当时，随的增大的值减小
当时，的值最小，从而OM的值最小，最小值为
故答案为C
【分析】根据题意先求出二次函数为，再在 的范围内确定OM长度的最小值即可求出答案
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE＋EF＝C′E＋EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE＋EF最小，
由题意可得
，解得 ，
∴直线解析式为y= x+3；
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝ x＋，
由解得，
∴，
∴
即CE+EF的最小值是2.8.
故答案为：C.
【分析】设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE＋EF最小，由C点坐标可确定出C′，利用互相垂直的直线的斜率乘积等于-1及思安C'的坐标求出直线C'F的解析式，联立两直线解析式组成方程组，求解得出F点的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式即可求得CE＋EF的最小值．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：作PE⊥x轴，QF⊥x轴，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0）、C（3，0），
∴设y=a(x-1)(x-3)，对称轴为直线x=2，顶点P的坐标为（2，-a），
∴PE=a.
∵抛物线y=ex2+fx+g经过点A（1，0）、C（6，0），
∴可设y=e(x-1)(x-6)，对称轴为直线x=3.5，顶点Q的坐标为（3.5，-6.25e），
∴QF=6.25e.
∵AB=2，AC=5，
∴AE=1，AF=2.5.
∵PE∥QF，
∴△APE∽△AQF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】作PE⊥x轴，QF⊥x轴，由题意可得两个抛物线的顶点坐标，然后表示出PE、QF，根据AB=2，AC=5可得AE=1，AF=2.5，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△APE∽△AQF，接下来利用相似三角形的性质进行计算.
8．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，根据对称轴公式得出b=﹣2a，代 ① 化简即可判断 ① ；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，结合抛物线的对称轴为直线x=1，推出抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则可得出当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断②；正确；观察图象可得当x=1时，二次函数有最大值，可得ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，即可判断③；观察图象可得x=3时，一次函数值比二次函数值大，从而得出9a+3b+c＜﹣3+c，结合b=﹣2a，则可推出a＜﹣1，即可判断④.
9．【答案】8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：如图，设抛物线的对称轴交x轴于点A，交抛物线于点B，过点B作轴于点C，则四边形为矩形，
∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，即.
故答案为：8.
【分析】设抛物线y=-x2-4x的对称轴交x轴于点A，交抛物线y=-x2于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，则四边形OABC为矩形，由抛物线的解析式可得顶点坐标为（-2，4），对称轴为直线x=-2，将x=-2代入y=-x2中求出y的值，进而不难求出阴影部分的面积.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：若要与反比例函数的图象有3个不同的交点，
这样的函数可以为二次函数，设，
如图，二次函数与反比例函数有3个交点，
可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
这样的函数可以是，
其中，，，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先求出函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，再求解即可。
11．【答案】1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函的图象经过点，
∴，
∴.
故答案为：1.
【分析】将（1，-2）代入y=ax2+bx-3中进行计算可得a+b的值.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）， y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
13．【答案】（1）x2-3x
（2）（-，），（，）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
∴y=x2-3x，
故答案为：x2-3x.
（2）如图，过点D作DP1∥N1B1，
∵B（4，4），
∴直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A’的坐标为（0，3），
设直线A'B的解析式为y=kx+3，
∵B（4，4），
∴4k+3=4，解得k=，
∴直线A'B的解析式为y=x+3，
∵∠NBO=∠ABO，
∴点N在直线A'B上，
∴设点N（n，n+3），又点N在抛物线上，
∴n+3=n2-3n，
解得：n=-或4（与B点重合，不合题意），
∴点N的坐标为（-，），
将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（，），B1（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上，
∵ △P1OD∽△NOB ，
∴△P1OD∽△N1OB ，
∴P1是ON1的中点，
∴，
∴点P1的坐标为（-，），
将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得到另一个满足条件的点到x轴
距离等于P1到y轴的距离，点到y轴距离，
∴此点坐标为（，），
综上，点P的坐标是（-，），（，）.
故答案为：（-，），（，）.
【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）根据解方程组，可得N点坐标，求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
14．【答案】解：把，；，；，分别代入得，解得
∴，，.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】分别将x=0、y=6；x=1、y=5；x=2、y=5代入y=ax2+bx+c中就可求出a、b、c的值.
15．【答案】解：
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为( ，3).
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴直线为x=h即可直接得出答案.
16．【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
17．【答案】（1）①②③
（2）解：①，所以顶点
令顶点横坐标，纵坐标
即：Pn顶点满足关系式：y=x2+1
②令，
则，
∴
∵
结果与n无关，∴相邻两点之间距离为定值，定值为
③两线段不平行
【知识点】平行线的判定；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）令x=0，可得y1=y2=y3=1，故①正确；
抛物线y1、y2、y3的对称轴分别为x=、x=-1、x=，故②正确；
抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，则相邻两点之间的距离相等，均为1，故③正确.
故答案为：①②③.
（2）③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），
在Rt△DAnCn中，tan∠DAnCn==k+n，
在Rt△EAn-1Cn-1中，tan∠EAn-1Cn-1==k+n-1，
∴∠DAnCn≠∠EAn-1Cn-1，
∴CnAn与Cn-1An-1不平行.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，据此判断①；分别求出y1、y2、y3的对称轴，进而判断②；抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，据此判断③；
（2）①将yn解析式化为顶点式，可得Pn（，），令x=，则y==()2+1=x2+1，据此解答；
②令xn-1=-k-(n-1)=-k-n+1，yn-1=-xn-12-(n-1)xn-1+1，xn=-k-n，yn=-xn2-nxn+1，则Cn（xn，yn），Cn-1（xn-1，yn-1），xn-1-xn=1，yn-1-yn=-xn-12-(n-1)xn-1+1+xn2+nxn-1=k，然后根据进行解答；
③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），根据三角函数的概念可得tan∠DAnCn，tan∠EAn-1Cn-1 ，然后根据平行线的判定定理进行解答.
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