空间向量与立体几何专题
------01空间向量的基本概念及线性运算
学习目标：
1.类比平面向量认识并理解空间向量的相关概念、及空间向量的线性运算及运算律
2.类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.
知识梳理
（一）空间向量的有关概念
1.空间向量的定义
在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量.
2.空间向量的表示
空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示.
3.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.
加法：三角形法则与平行四边形法则
＝＋＝a＋b；
减法：三角形法则
＝－＝a－b；
数乘运算：
＝λa(λ∈R).
(2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
运算律(其中λ，μ∈R)
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.
（二） 特殊的空间向量
零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量：模为1的向量叫做单位向量
相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
（三）共线向量及共线向量定理
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．方向向量：
如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．
3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
4．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
5．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
三、考点应用举例
考点一：空间向量的基本概念
例1．（1）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
（2）如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）单位向量有__________________；
（2）模为的向量有_________个；
（3）与相等的向量有_________；
（4）的负向量有_________；
（5）化简结果的向量：_________，_________．
【答案】 （1），，，，，，， 8 ，， ，，、 （或）
【分析】根据向量的相关定义以及加减运算法则即可逐一求解.
【详解】根据相等向量，相反向量，以及向量的加减运算法则以及模长定义即可求解(1)(2)(3)(4).
,,
故答案为:，，，，，，，;8;，，;
，，、;（或）;
针对训练1（1）．下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.
【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，
故选：A
（2）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
【答案】共面
【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量.
【详解】由空间向量的运算法则，可得，
又由，可得，
所以是共面向量.
故答案为：共面.
考点二：空间向量的线性运算
例2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算计算得解.
【详解】因为是的中点，，分别是，的中点，
所以
.
故选：A
针对训练2：（1）．化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据向量加减法运算规则去求化简即可,
【详解】
故选：D
（2）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】解：在三棱锥中
，E为OA的中点
，，
所以
故选：A
例3：如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】，
所以，
故选：
针对训练3：如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.
【详解】为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
.
，
，，
，
故选：B.
考点三：共性向量的应用
例4．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
针对训练4（1）．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
例5．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【答案】.
【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.
【详解】因为，，则有，
又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线，
因此，解得，
所以实数k的值是.
针对训练5：如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.
【详解】由题意可知空间向量不共线，且，即，
则，即，
故选：C.
考点四：共面向量的应用
例6．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．
故选：C．
针对训练6（1）．对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用向量来判定点在平面内，只需要满足：（）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则不共线，
若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，
即，变形得，
对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
对于C，，可得：，
则，故不在平面内，故选项C错误；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
故选：
（2）多选题下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；
【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；
C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；
故选：ACD
（3）．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=________.
【答案】
【分析】根据共面向量定理求解.
【详解】
故答案为：
例7.如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．
分析：欲证，，，四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．
证明：因为，所以，，，．
因为四边形是平行四边形，所以．因此
．
由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，
从而，，，四点共面．
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．
针对训练7．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明.
【详解】，，，
，
，
因为、无公共点，故.空间向量与立体几何专题
------01空间向量的基本概念及线性运算
学习目标：
1.类比平面向量认识并理解空间向量的相关概念、及空间向量的线性运算及运算律
2.类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.
知识梳理
（一）空间向量的有关概念
1.空间向量的定义
在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量.
2.空间向量的表示
空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 来表示.
3.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.
加法：三角形法则与平行四边形法则：
减法：三角形法则
数乘运算：
(2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
运算律(其中λ，μ∈R)
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.
（二） 特殊的空间向量
零向量：规定 的向量叫做零向量，记为0
单位向量： 的向量叫做单位向量
相反向量：与向量a长度相等而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有
相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 的有向线段表示同一向量或相等向量
（三）共线向量及共线向量定理
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
2．方向向量：
如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．
3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l.
4．共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量．
5．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
三、考点应用举例
考点一：空间向量的基本概念
例1．（1）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
（2）如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）单位向量有__________________；
（2）模为的向量有_________个；
（3）与相等的向量有_________；
（4）的负向量有_________；
（5）化简结果的向量：_________，_________．
针对训练1（1）．下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
（2）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
考点二：空间向量的线性运算
例2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A． B． C． D．
针对训练2：（1）．化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
例3：如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
针对训练3：如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
考点三：共性向量的应用
例4．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
针对训练4（1）．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
例5．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
针对训练5：如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：共面向量的应用
例6．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
针对训练6（1）．对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）多选题下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
（3）．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=________.
例7.如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．
针对训练7．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
