空间向量与立体几何专题
------03空间向量基本定理
一、学习目标：
1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理；
2.熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题。
二、知识梳理
1.温故知新：平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数，使.若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.空间向量基本定理
（1）定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使.
（2）基底与基向量：如果三个向量不共面，
那么所有空间向量组成的集合就是，
这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3、空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。
正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。称为空间向量的正交分解.
三、类型归纳
类型一：基底的基本概念及辨析
类型二：用基底表示空间向量
类型三：用空间向量基本定理求参数
类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题
四、类型应用
类型一：基底的基本概念及辨析
【例1】若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】C
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，则、、共面，A不满足条件；
对于B选项，因为，则、、共面，B不满足条件；
对于C选项，假设、、共面，则存在、，
使得，
因为、、构成空间的一组基底，则，该方程组无解，
假设不成立，故、、不共面，
所以，、、可以作为空间向量的一组基底，C满足条件；
对于D选项，因为，则、、共面，D不满足条件.
故选：C.
【变式训练1】
已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.
【详解】∵，，∴与共面，故A，B错误；
∵，∴与共面，故C错误；
∵是基底，∴不存在使成立，
∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.
故选：D.
类型二：用基底表示空间向量
【例2】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．
【答案】
【分析】根据题干条件可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理进行求解
【详解】因为，M是棱的中点，所以，所以
．
【变式训练2-1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为，所以，
所以，即，
又，
所以.
故选：D
【变式训练2-2】
在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、．
【答案】，．
【分析】利用空间向量基本定理，结合向量运算求解即可.
【详解】解：∵分别是的中点，
∴，
∴，
，
，
∴．
【变式训练2-3】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.
【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此
.
故选：D.
类型三：用空间向量基本定理求参数
【例3】如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】因为点 是上底面的中心，
所以,
又因为 ,
所以，
所以 ，
【变式训练3-1】若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______．
【答案】0
【分析】根据空间向量基本定理求得，即可得解.
【详解】因为空间向量不共面，且，
所以，
所以.
故答案为：.
【变式训练3-2】如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则__________.
【答案】/
【分析】根据题意可得，又，从而可求解.
【详解】因为为中点，所以.
所以.
因为，所以.
故答案为:.
类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题
【例4-1】如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: .
证明：设, 这三个向量不共 面，构成空间的一个基底，
由已知，，
所以
所以.
【例4-2】如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底.
所以，
所以，所以.
（2）因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
【变式训练4-1】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.求证EG⊥AB.
【答案】证明过程见解析
【解析】证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，
且E，G分别是AB，CD的中点，所以，
故，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
【变式训练4-2】已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法.
【变式训练4-3】棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析;
(2);
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；
（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；
（3）转化为求即可.
【详解】（1）解：如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）解：因为，所以
因为，且,
所以；
（3）解：因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.空间向量与立体几何专题
------03空间向量基本定理
一、学习目标：
1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理；
2.熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题。
二、知识梳理
1.温故知新：平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数，使.若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.空间向量基本定理
（1）定义：如果三个向量____________，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使____________.
（2）基底与基向量：如果三个向量不共面，
那么所有空间向量组成的集合就是，
这个集合可以看作由向量生成的，我们把____________叫做空间的一个基底，都叫做____________。
说明：空间任意三个____________的向量都可以构成空间的一个基底.
3、空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两____________，那么这个基底叫作____________，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是____________向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。
正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。____________称为空间向量的正交分解.
三、类型归纳
类型一：基底的基本概念及辨析
类型二：用基底表示空间向量
类型三：用空间向量基本定理求参数
类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题
四、类型应用
类型一：基底的基本概念及辨析
【例1】若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【变式训练1】已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
类型二：用基底表示空间向量
【例2】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．
【变式训练2-1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】
在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、．
【变式训练2-3】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
类型三：用空间向量基本定理求参数
【例3】如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值．
【变式训练3-1】若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______．
【变式训练3-2】如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则__________.
类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题
【例4-1】如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: .
【例4-2】如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
【变式训练4-1】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.求证EG⊥AB.
【变式训练4-2】已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【变式训练4-3】棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
