空间向量与立体几何专题
------04空间直角坐标系
一、学习目标：
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标.
2.会用坐标表示空间向量.
二、知识梳理
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°.
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中（如图），i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
点A（向量）的坐标为（x，y，z）.
3.空间中向量的坐标
因为空间向量是可以进行平移的，我们在空间直角坐标系Oxyz中可以作=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使
a=xi+yj+zk,
有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为
a=(x, y, z)
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。
4.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
5.空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
三、类型归纳
类型一：求空间中点或向量的坐标
类型二：求空间中对称的点的坐标或投影向量坐标
四、类型应用
类型一：求空间中点或向量的坐标
【例1】如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量，，，的坐标.
【详解】（1）因为点在轴上，且，根据空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是,,；
同理，点在y轴上，且，所以点的坐标是,,.
由图可知，点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，，，所以点的坐标是，，；
点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，，，所以点的坐标是，，.
（2）由相等向量的概念，在长方体中易知所求，，
=，，
-，，
由向量加法运算，和可以写成以原点为起点的向量的和，从而得到向量的坐标，
【变式训练1-1】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
【变式训练1-2】如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
【答案】(1)点的坐标为，．
(2)
【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示；
（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标.
（1）
因为，，，
所以点的坐标为，从而．
（2）
同理因为，，，易得点的坐标为，所以．
【变式训练1-3】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【答案】
【分析】由题设确定的空间坐标，再利用向量的坐标表示求、、的坐标.
【详解】如题图示，，
∴，
，
.
故答案为：，，.
【变式训练1-4】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E、F的坐标。
【答案】，
【解析】 解法一：如图，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，点E在xOy面上的投影为B（1，0，0），
∵点E竖坐标为，∴。
F在xOy面上的投影为BD的中点G，竖坐标为1，
∴。
解法二：如解法一所建立空间直角坐标系，
∵B1（1，0，1），D1（0，1，1），B（1，0，0）
E为BB1的中点，F为B1D1的中点，
∴E的坐标为，
F的坐标为。
点评：本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。由于正方体的棱AB，AD，AA1互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。点的各个坐标分量就是这个点在各个坐标轴上的投影在相应坐标轴上的坐标。
【变式训练1-5】在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量运算求得，从而确定正确选项.
【详解】由题可知，为的中点，
∴，
∴坐标为.
故选：D
类型二：求空间中对称的点的坐标或投影向量坐标
【例2】在空间直角坐标系中，
（1）哪个坐标平面与轴垂直？
（2）点在平面内的射影的坐标是什么？
（3）点在三个坐标轴上的射影的坐标分别是什么？
（4）点关于轴、轴、轴对称的点的坐标分别是什么？
（5）点关于平面、平面、平面对称的点的坐标分别是什么？
（6）点关于坐标原点对称的点的坐标是什么？
【详解】（1）与x轴垂直的坐标平面是平面；
（2）由PB平面，且点B在此平面内，可得点在平面内的射影的坐标为B(1,3,0)；
（3）由PA轴，交轴于点A，得到点在轴上的射影的坐标为A(1,0,0)；同理点P在轴上的射影的坐标为C(0,3,0)；在轴上的射影的坐标为 (0,0,2).
（4）由图可知：点关于轴对称的点的坐标为P1(1,-3,-2)；关于轴对称的点的坐标为P2(-1,3,-2)；关于轴对称的点的坐标为P3(-1,-3,2).
（5）点关于平面对称的点的坐标为P4(1,3,-2)；关于平面对称的点的坐标为P5(-1,3,2)；关于平面对称的点的坐标为P6(1,-3,2).
（6）点关于坐标原点对称的点的坐标为P7(-1,-3,-2).
【规律方法】
（1）求点在哪个坐标平面上的射影，则该面上对应的两个坐标不变，另一个坐标为0；
（2）求点在哪个坐标轴上的射影，则该轴上对应的坐标不变，另两个坐标为0；
（3）两个点关于哪条坐标轴对称，则该轴上对应的坐标不变，另两个坐标互为相反数；
（4）两个点关于哪个坐标平面对称，则该面上对应的两个坐标不变，另一个坐标变为相反数;
（5）关于坐标原点对称的两个点，对应坐标全都互为相反数.
简单记为：关于谁对称，谁不变.
【设计意图】巩固学生对空间直角坐标系的理解和掌握程度，并总结点在坐标平面内、坐标轴上的射影的坐标，点关于坐标轴、坐标平面、坐标原点的对称点的坐标的一般形式，锻炼学生的数学思维.
【变式训练2-1】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
【变式训练2-2】在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（ ）
A．（―1，2，3） B．（―1，―2，3） C．（1，2，―3） D．（1，―2，―3）
【答案】C
【解析】空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为；由题意可得：点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标是（1，2，―3）．
故选：C．
【总结升华】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，―c）；关于坐标平面yOz的对称点为（―a，b，c）；关于坐标平面xOz的对称点为（a，―b，c）．
【变式训练2-3】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.
【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点在坐标平面上的投影坐标，
横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．
所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：
故选：B.空间向量与立体几何专题
------04空间直角坐标系
一、学习目标：
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标.
2.会用坐标表示空间向量.
二、知识梳理
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做________，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做_____________，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，________平面，________平面，它们把空间分成八个部分.
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°.
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中（如图），i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作________________，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
3.空间中向量的坐标
因为空间向量是可以进行平移的，我们在空间直角坐标系Oxyz中可以作=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使
a=xi+yj+zk,
有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为
________________
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。
4.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是________________；
点关于横轴(x轴)的对称点是________________；
点关于纵轴(y轴)的对称点是________________；
点关于竖轴(z轴)的对称点是________________；
点关于坐标平面的对称点是________________；
点关于坐标平面的对称点是________________；
点关于坐标平面的对称点是________________；
5.空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为________________________________；；.
三、类型归纳
类型一：求空间中点或向量的坐标
类型二：求空间中对称的点的坐标或投影向量坐标
四、类型应用
类型一：求空间中点或向量的坐标
【例1】如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量，，，的坐标.
【变式训练1-1】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【变式训练1-2】如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
【变式训练1-3】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【变式训练1-4】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E、F的坐标。
【变式训练1-5】在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
类型二：求空间中对称的点的坐标或投影向量坐标
【例2】在空间直角坐标系中，
（1）哪个坐标平面与轴垂直？
（2）点在平面内的射影的坐标是什么？
（3）点在三个坐标轴上的射影的坐标分别是什么？
（4）点关于轴、轴、轴对称的点的坐标分别是什么？
（5）点关于平面、平面、平面对称的点的坐标分别是什么？
（6）点关于坐标原点对称的点的坐标是什么？
【变式训练2-1】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（ ）
A．（―1，2，3） B．（―1，―2，3）
C．（1，2，―3） D．（1，―2，―3）
【变式训练2-3】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
