2023—2024学年人教版数学九年级上册第21章一元二次方程 单元达标测试题（含解析）

2023-2024学年第一学期人教版九年级数学《第21章一元二次方程》
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．
3．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为( )
A． B． C． D．
4．方程经配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是(　　)
A． B． C．或 D．或或
8．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（满分32分）
9．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是 ．
10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积是 ．
12．若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ．
13．已知m为方程的根，那么的值为 ．
14．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是，两条直角边的长分别是 ．
15．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
16．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为 元/件．
三、解答题（满分56分）
17．解方程．
(1)（配方法）．
(2)（公式法）．
18．解一元二次方程：
(1)
(2)
19．已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根、满足，求的值．
20．如图，用一条长为的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长和矩形的面积（用代数式表示）
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．
21．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
22．某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
(1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
(2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
23．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 价格 A款保温杯 B款保温杯
进货价（元/个） 35 28
销售价（元/个） 50 40
(1)网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
(2)第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是　 　元；
(3)国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？
参考答案：
1．解：A. 是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. 只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．解：，
，
，
，
解得：，，
故选：B．
3．解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴ ，
故选：C．
4．解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选A．
5．解：∵关于x的方程有两个实数解，
∴且，
解得：且．
故选：D．
6．解：一元二次方程无实数根，
，
，
，即，
又 ，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
7．解：，
，
，，
，，
有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为，
故选：B．
8．解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故选：B．
9．解：设关于x的一元二次方程的另一个根为，
由根与系数的关系得：，
∴，
即另一个根是，
故答案为：．
10．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
故答案为：；
11．解：解得到，
∴菱形的两条对角线长分别是，
∴菱形的面积是，
故答案为：
12．解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得或，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
13．解：∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．解：设一条直角边为，则另一条直角边的长为，
根据题意得： ，
整理得∶ ，
解得：，
当时，．
当时，．
答：这两条直角边的长分别为和．
故答案为：和
15．解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
16．解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：
解得：或（舍去）
2021年此类服装的出厂价为（元）
故答案为：
17．（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．（1）解：，
，
，
，
．
∴，；
（2），
，
，
，
∴或 ，
∴，．
19．（1）解：证明：整理原方程得，，
∴，
∵无论为何实数，总有，
∴即，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，，，
∴，
∴．
20．解：（1）为，
矩形的面积=AB AD=；
（2）由，整理得，
∴，
∴此方程无实数根，
∴矩形的面积不能为．
21．（1）证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵、是这个方程的两个实根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．
22．解：（1）设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每年下调的百分率为20%；
（2）设每个商品的定价是元，
由题意可得：
解得：，，
当时，进货个，不符合题意，舍去；
当时，进货个，符合题意．
答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个．
23．（1）解：设购进款保温杯个，款保温杯个，
依题意得：，
解得：，
答：购进款保温杯20个，款保温杯30个．
（2）解：设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
即网店可获得的最大利润是1440元．
（3）解：设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使款保温杯平均每天销售利润为96元．