第22章二次函数 单元达标测试题 2023—2024学年人教版数学九年级上册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第22章二次函数 单元达标测试题 2023—2024学年人教版数学九年级上册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 265.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-14 12:34:40 | ||
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文档简介
2023-2024学年第一学期人教版九年级数学《第22章二次函数》
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足( )
A．且 B． C． D．或
4．已知二次函数．当时，，且二次函数图象经过两点．则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．已知二次函数，当时，则x的取值范围为 （ ）
A． B． C．或 D．或
6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A． B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为 D．
7．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为，则下列结论错误的是（ ）
二次函数的最大值为 B．
C． D．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图像如图，则下列结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（满分32分）
9．已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限．
10．如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为 ．
11．将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
12．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 ．
13．已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）若当时，y的最大值是1，求当时，y的最小值是 ．
14．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米．
15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，当AB的长等于 m时，羊圈的面积最大．
16．如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于 ．
三、解答题（满分56分）
17．已知抛物线，求：
(1)这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)当x取什么值时，？
(3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？
18．如图，已知二次函数过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求的面积．
19．近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
20．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，轴），求这两根竹竿之间的水平距离．
21．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接，点P是抛物线上的一个动点，点M是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
(3)若，直接写出点P的横坐标为_______．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，线段绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和的最大面积．
参考答案
1．解：∵，
∴图象开口大小的顺序是，
故选：D．
2．解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
3．解：当时，，
此时一次函数与轴只有一个公共点，
当时，令，则，
二次函数与轴只有一个交点，
△，
解得，
综上所述，或．
故选：D．
4．解：二次函数，
对称轴为直线，
当时，，
，
，
抛物线开口向下，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离小，
，
故选：B．
5．解：∵二次函数，开口向上，
当时，即，解得，
∴当时，或．
故选：C．
6．解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
7．解：由图象可知：
当时，的值最大，选项不符合题意；
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，因此选项不符合题意；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，故选项不符合题意；
抛物线过点，对称轴为直线，
因此有：，即，因此选项符合题意；
故选：D．
8．解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线与x轴有两个交点
∴
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小，
∴当时，，
∴将代入解析式中，得：，故③正确；
④若点，在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小，
即若，则，故④错误；
故选：C．
9．解：∵函数是关于 的二次函数，
∴且，
解得：，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
10．解：∵的的对称轴是轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
11．解：∵，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为，
∴此时顶点坐标为．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：2．
12．解：在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为，即，
故答案为：．
13．解：（1）抛物线的对称轴为：直线，
故答案为：直线；
（2）∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值，
∵当时，y的最大值是1，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最小值，此时，
故答案为：．
14．解：∵，
∴时，y取最大值，
即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米，
故答案为：．
15．解：设 ，则，
∴，
∴
又∵矩形的面积：
∵，
∴当时，S有最大值，
所以，当时，矩形的面积最大
故答案为：20．
16．解：，当时，，
解得：，
∴，对称轴为直线，
∴，
设，
∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，
∴，
设直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为；
∴当时，，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
∴
∴；
故答案为：．
17．（1）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，则，
解得或，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当或时；
（3）解：由（2）可得当时，y随x的增大而减小．
18．（1）解：∵二次函数过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：根据题意，得
，
即，
又，
解得，
∴
（2）解：根据题意有：，
解得：，
，
∵，
∴当时，W随着x的增大而减小，
又，
当时，函数值最大，最大为：．
答：此时W的最大值为2160元．
20．（1）解：由题意知，点A的坐标为，点B的坐标为，
把，代入得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知，点C、D的纵坐标均为3，
∴
解得或，
∴，，
∴，
∴这两根竹竿之间的水平距离为1米．
21．（1）解：∵抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，
∴可列出以下方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，
①如图所示，当为平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
②如图所示，当为平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
③如图所示，当为平行四边形的对角线时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
综上所述，点P的坐标或或；
（3）解：设与x轴的交点为N，过点N作于Q，设，，如下图所示，
在中，，
在中，，，
∴，
又∵在中，，
∴，，
∵，
代入后可求得，
∴，
设过点C、P的直线的函数表达式为，
∵函数过点，，
∴，解得，
∴函数表达式为，
联立方程组，
，
解得或，
∵当是，点P与点C重合，
∴，
即点P的横坐标为；
22．（1）解：点的坐标，
设抛物线的解析式为，
，
，，
；
（2）由于、关于抛物线的对称轴对称，连接，
则与抛物线对称轴的交点即为所求的点；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
当时，；
点的坐标为，；
（3）过作直线轴，交于，
设，则，
，
的面积：
，
∴当，即时，的面积最大，且最大值为．
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足( )
A．且 B． C． D．或
4．已知二次函数．当时，，且二次函数图象经过两点．则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．已知二次函数，当时，则x的取值范围为 （ ）
A． B． C．或 D．或
6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A． B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为 D．
7．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为，则下列结论错误的是（ ）
二次函数的最大值为 B．
C． D．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图像如图，则下列结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（满分32分）
9．已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限．
10．如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为 ．
11．将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
12．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 ．
13．已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）若当时，y的最大值是1，求当时，y的最小值是 ．
14．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米．
15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，当AB的长等于 m时，羊圈的面积最大．
16．如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于 ．
三、解答题（满分56分）
17．已知抛物线，求：
(1)这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)当x取什么值时，？
(3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？
18．如图，已知二次函数过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求的面积．
19．近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
20．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，轴），求这两根竹竿之间的水平距离．
21．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接，点P是抛物线上的一个动点，点M是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
(3)若，直接写出点P的横坐标为_______．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，线段绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和的最大面积．
参考答案
1．解：∵，
∴图象开口大小的顺序是，
故选：D．
2．解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
3．解：当时，，
此时一次函数与轴只有一个公共点，
当时，令，则，
二次函数与轴只有一个交点，
△，
解得，
综上所述，或．
故选：D．
4．解：二次函数，
对称轴为直线，
当时，，
，
，
抛物线开口向下，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离小，
，
故选：B．
5．解：∵二次函数，开口向上，
当时，即，解得，
∴当时，或．
故选：C．
6．解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
7．解：由图象可知：
当时，的值最大，选项不符合题意；
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，因此选项不符合题意；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，故选项不符合题意；
抛物线过点，对称轴为直线，
因此有：，即，因此选项符合题意；
故选：D．
8．解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线与x轴有两个交点
∴
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小，
∴当时，，
∴将代入解析式中，得：，故③正确；
④若点，在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小，
即若，则，故④错误；
故选：C．
9．解：∵函数是关于 的二次函数，
∴且，
解得：，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
10．解：∵的的对称轴是轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
11．解：∵，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为，
∴此时顶点坐标为．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：2．
12．解：在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为，即，
故答案为：．
13．解：（1）抛物线的对称轴为：直线，
故答案为：直线；
（2）∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值，
∵当时，y的最大值是1，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最小值，此时，
故答案为：．
14．解：∵，
∴时，y取最大值，
即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米，
故答案为：．
15．解：设 ，则，
∴，
∴
又∵矩形的面积：
∵，
∴当时，S有最大值，
所以，当时，矩形的面积最大
故答案为：20．
16．解：，当时，，
解得：，
∴，对称轴为直线，
∴，
设，
∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，
∴，
设直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为；
∴当时，，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
∴
∴；
故答案为：．
17．（1）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，则，
解得或，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当或时；
（3）解：由（2）可得当时，y随x的增大而减小．
18．（1）解：∵二次函数过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：根据题意，得
，
即，
又，
解得，
∴
（2）解：根据题意有：，
解得：，
，
∵，
∴当时，W随着x的增大而减小，
又，
当时，函数值最大，最大为：．
答：此时W的最大值为2160元．
20．（1）解：由题意知，点A的坐标为，点B的坐标为，
把，代入得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知，点C、D的纵坐标均为3，
∴
解得或，
∴，，
∴，
∴这两根竹竿之间的水平距离为1米．
21．（1）解：∵抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，
∴可列出以下方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，
①如图所示，当为平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
②如图所示，当为平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
③如图所示，当为平行四边形的对角线时，
∴由平行四边形的性质可得，，即
解得，
∴将代入得，
∴；
综上所述，点P的坐标或或；
（3）解：设与x轴的交点为N，过点N作于Q，设，，如下图所示，
在中，，
在中，，，
∴，
又∵在中，，
∴，，
∵，
代入后可求得，
∴，
设过点C、P的直线的函数表达式为，
∵函数过点，，
∴，解得，
∴函数表达式为，
联立方程组，
，
解得或，
∵当是，点P与点C重合，
∴，
即点P的横坐标为；
22．（1）解：点的坐标，
设抛物线的解析式为，
，
，，
；
（2）由于、关于抛物线的对称轴对称，连接，
则与抛物线对称轴的交点即为所求的点；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
当时，；
点的坐标为，；
（3）过作直线轴，交于，
设，则，
，
的面积：
，
∴当，即时，的面积最大，且最大值为．
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