人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
1.通过实例分析,经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.通过实例分析,经历由割线的斜率过渡到切线的斜率的过程.
3.通过函数图象直观理解瞬时速度以及切线的斜率.
5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
1.平均速度
设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为 =①
.
2.瞬时速度
(1)物体在②　某一时刻的速度称为瞬时速度.
(2)一般地,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数v,我们就说当Δt趋近于0
1 |瞬时速度
时, 的极限是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v=③
=④ .
1.抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x),则抛物线上过点P0(x0,f(x0))、P(x0+Δx,f(x0+Δx))的割线的斜率为
=⑤ .
2.抛物线切线的斜率
一般地,在二次函数y=f(x)中,当Δx无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数k,我们
就说当Δx趋近于0时, 的极限是k,这时k就是抛物线在点P0(x0,f(x0))处切线的斜
率,即切线的斜率k=⑥ =⑦ .
2 |抛物线切线的斜率
1.Δx趋近于0表示Δx=0. ( 　)
提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于0,否则 无意义.
2.瞬时速度是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量. ( 　)
提示:函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量是平均变化率,不是瞬时速度.
3.平均速度与瞬时速度有可能相等. (　√　)
提示:位移与时间的关系为常数函数或一次函数时,平均速度与瞬时速度相等.
4.若直线与抛物线相切,则直线与抛物线只有一个公共点.(　√　)
提示:直线与抛物线相切时,直线与抛物线的公共点是唯一的.
5.抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是-3. (　√　)
提示:∵切线的斜率为 = = (4+Δx)=4,∴抛物线y=x2
+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1|如何求瞬时速度
情境　某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表
示.
问题
1.如何求物体在1 s到2 s间的平均速度
提示:∵Δs=s(2)-s(1)=7-3=4,∴ = =4.
2.如何求物体在t=1 s时的瞬时速度
提示:∵ =
= =3+Δt,
∴ = (3+Δt)=3.
∴物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.
4
3.如何求物体的初速度
提示:求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵ = = =1+Δt,
∴ (1+Δt)=1.∴物体在t=0时的瞬时速度为1 m/s,
即物体的初速度为1 m/s.
4.物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s呢
提示:设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
∵ = = =2t0+1+Δt,∴ = (2t0+1
+Δt)=2t0+1.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s.
1.求运动物体瞬时速度的步骤
(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求平均速度 = ;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近的常数v即为瞬时速度,即v=
.
2.物体的瞬时速度与平均速度是不同的概念,解题时要注意区分,混淆概念是解答
本类题的常见错误.
若某物体的运动方程为s(t)= (s的单位为m,t的单位为s).
(1)求物体在t∈[3,5]内的平均速度 ;
(2)求物体的初速度v0;
(3)求物体在t=1 s时的瞬时速度.
思路点拨
由时间所在的范围确定函数解析式,计算“差、商、极限”,得到瞬时速度.
解析　(1) = =
= =24(m/s).
(2)∵物体在t=0附近某一时间段内的平均速度为 = =
=3Δt-18,
∴物体在t=0时的瞬时速度为 =-18(m/s),
∴物体的初速度v0=-18 m/s.
(3)∵物体在t=1 s附近某一时间段内的平均速度为 = =3Δt-12,
∴物体在t=1 s时的瞬时速度为 =-12(m/s).
易错警示
物体的运动方程是分段函数时,要根据自变量的取值范围确定函数的解析式,防
止选错解析式导致解题错误.求瞬时速度时要注意取“极限”的方法,计算时要
认真.
一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m;时间单位:s).若质点M在t=
2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a.
解析 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-(a×22+1)=4aΔt+a(Δt)2,∴ =4a+aΔt,∴
=4a,即4a=8,∴a=2.
解题模板
　　求瞬时速度的关键是求“极限”,解题时将含有Δt的式子化到最简形式,将Δt
用0代入,可得到极限值.
2|求抛物线的割线、切线的斜率
1.求二次函数y=f(x)的图象过点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))的割线方程的步骤:
(1)求割线的斜率:k= ;
(2)利用点斜式求出割线方程.
2.求二次函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求切线的斜率:k= = ;
(2)利用点斜式求出切线方程.
已知抛物线y=f(x)=2x2+1.
(1)求抛物线在点P(1,3)处的切线方程;
(2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°,求该切点的坐标.
思路点拨
由“差、商、极限”求出抛物线在P点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程求
出切线的方程.未知切点时可先设后求.
解析　(1) ∵Δy=2(1+Δx)2+1-3=4Δx+2(Δx)2,
∴ =4+2Δx,∴切线的斜率为 =4.
∴切线的方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
(2)设切点坐标为(x0,y0),
则Δy=2(x0+Δx)2+1-(2 +1)=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴ =4x0+2Δx,∴切线的斜率为 =4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,
∴4x0=1,即x0= ,
∴y0=2× +1= .∴切点坐标为 .
解题模板
　　解决切线问题,应当从切点入手,在切点处当Δx无限趋近于0时,割线的斜率就
是切线的斜率,因此先求函数值之差,进而求出割线的斜率,再将Δx无限趋近于0得
到切线的斜率,最后得到切线方程.
过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线.
(1)当Δx=1时,求割线的方程;
(2)若割线的斜率为1,求Q点的坐标.
思路点拨
易知割线的斜率为 ,因此可由Δx的值得到割线的斜率,进而得到割线的方程;反
过来,可由割线的斜率得到Δx的值,进而求得点Q的坐标.
解析　∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴ =2+Δx,∴割线的斜率为2+Δx.
(1)当Δx=1时,割线的斜率为2+Δx=3,
∴割线的方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)若割线的斜率为1,则2+Δx=1,解得Δx=-1,
∴Δy=2Δx+(Δx)2=-1.∴Q点的坐标为(0,1).
解题模板
　　解决二次函数的割线问题,关键是将割线的斜率 表示为Δx的函数,从而建
立条件与结论间的联系,使问题得到解决.