2.3用公式法求解一元二次方程 自主达标测试题 2023—2024学年北师大版数学九年级上册（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
自主达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列关于的一元二次方程没有实数根的是(　 　)
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
3．一元二次方程（a为实数）的实数根的情况是（ ）
A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．关于一元二次方程有实根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
7．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
8．定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（满分40分）
9．方程的根的判别式的值是 ．
10．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为 ．
12．方程化为一般形式是 ， ，用求根公式求得 ， ．
13．一元二次方程与的所有实数根的和为 ．
14．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为 ．
15．已知实数，满足，则的值为 ．
16．关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 ．
三、解答题（满分48分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．已知，A的值与B的值互为相反数，求x．
19．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
20．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
21．如图，在正方形中，点E、F分别在边和上，．

(1)求证：；
(2)若正方形边长为2，求线段的长．
参考答案
1．解：A. ，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
B. ，即，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
C. ，即，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
D. ，，原方程没有实数根，符合题意．
故选：D．
2．解：当时，方程为，解得不是整数，故A选项不符合题意；
当时，方程为，解得不是整数，故B选项不符合题意；
当时，方程为，解得或是整数，故C选项符合题意；
当时，方程为，解得不是整数，故D选项不符合题意；
故选：C
3．解：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
5．解：关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，
，
故选：D．
6．解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故选：A．
7．解：解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
8．解：由题意得，方程，化为，
整理得，，
，
∴，
解得：，，
故选A．
9．解：∵方程，a=2，b=-，c=1
∴
=4
故答案为：4．
10．解：根据题意可知，
解得：．
∴实数k的取值范围是且k≠1．
故答案为：且k≠1．
11．解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，
设a2﹣2a＝x，则原方程化为：x2﹣9＝0，
解得：x＝±3，
当x＝3时，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；
当x＝﹣3时，a2﹣2a＝﹣3，
a2﹣2a+3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程无解；
所以a2﹣2a的值是3，
故答案为：3．
12．解：去括号：2x2+4x+x+2=3，
移项，合并同类项得：，
则，
故x=，
即，，
故答案为；33；；.
13．解：-3x-1=0
-4ac=-4×1×（-1）=13>0
∴此方程有实数解
∴x=
∴=，=
+x-3=0
-4ac=-4×1×（-3）=13>0
∴此方程有实数解
∴x==
∴=，=
∴+=+++=2
故答案为2．
14．解：依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2-5（x+2）=0，
化简得：x2+x-1=0
解得x1＝，x2＝，
故答案为x1＝，x2＝．
15．解：设，
则：
解得，
因为，
所以的值为2.
16．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
17．（1）解：
，
，；
（2）解：∵，
∴
原方程无实数根
18．解：∵A的值与B的值互为相反数，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴．
19．（1）证明：由得，
，
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴m的最小值为．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：令，则，解得：或3
当时，原方程可化为：
∴
∴；
当时，原方程可化为：
∴
∴；
综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为．
21．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，

由（1）得：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴．