2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 自主达标测试题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
自主达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．方程x2＝4x的根是（　　）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0．x2＝2
2．下列一元二次方程最适合用分解因式来解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程的根是（ ）
A．或 B． C． D．或
4．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．9或18
6．已知实数x满足，则的值为（ ）
A．6 B． C．或6 D．1或
7．已知关于的方程的一个解是，则原方程的另一个解是（ ）
A．或7 B．或4 C．或7 D．或7
8．关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（满分40分）
9．方程的解是 ．
10．如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝ ．
11．关于x的代数式+（m+2）x+（4m-7）中，当m= 时，代数式为完全平方式．
12．若是一元二次方程的解，则 .
13．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 .
14．若关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根为x＝2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根为 ．
15．已知关于的方程（a，b，m均为常数，且，）的两个解是和，则方程的解是 ．
16．菱形的两条对角线长分别是方程x2+48=14x的两个实数根，则菱形的面积为 ．
三、解答题（满分48分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
19．（1）．
（2）．
（3）；
（4）．
20．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
22．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
参考答案
1．解：x2＝4x
∴x2-4x=0
∴x（x-4）=0
∴x=0或x-4=0，
∴x1＝0，x2＝4
故选：C
2．解：A、适合用配方法或公式法来解；
B、适合用分解因式法来解；
C、适合用配方法或公式法来解；
D、适合用直接开平方法来解；
故选：B．
3．解：去括号得：，
整理得： ，
所以（x-1)(x-2)=0，
解得或
故选：D．
4．解：由题意可得：，
∴用① -②得，
∴，
∴或，
∴或或（不合题意），
当时，原方程为和，此时不符合题意，
∴，
∴，
解得，
故选D．
5．解：方程变形得：（x 3）（x 6）＝0，
解得：当x＝3或x＝6，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
6．解：设x2+x＝t，
原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，
∴(t﹣6)(t+1)＝0，
解得t1＝6，t2＝﹣1，
即x2+x＝6或x2+x＝﹣1，
∵x2+x＝x2+x+－
＝(x+)2－≥－，
∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去，
∴x2+x＝6，
故选：A．
7．解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，
∴4a2﹣14a+6a＝0，
解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，方程为x2﹣7x＝0，
解得：x1＝0，x2＝7；
当a＝2时，x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝4，x2＝3，
故选：C．
8．解：∵关于的方程的解是（均为常数，），
∴在方程中，可有或，
解得．
故选：C．
9．解：∵，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
10．解：令，则原方程可化为，
即
解得
故答案为：．
11．解：由题意可知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
∴当m=4或8时，代数式为完全平方式．
12．解：将代入原方程，得，
解得，，
∵该方程是一元二次方程，
∴，即，
∴．
故答案是：．
13．解：∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
14．解：∵关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2020，
∴另一个根为x＝0，
∴x+2＝2020或x+2＝0，
解得x＝2018或﹣2．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝2018．
15．解：∵方程的解为：和，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
16．解：，
解得：，，
根据菱形面积为对角线乘积的一半，可得：
菱形的面积为：，
故答案为：24．
17．（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
18．（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
∴，
则，
即．
19．解：（1）
∴，
∴，
解得：；
（2），
整理得：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3），
∴，
∴，
解得：；
（4）
∴，
∴，
∴，
解得：．
20．（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
21．（1）解：
；
又，
，
原方程有两个实数根；
（2）原方程可变为，
则方程的两根为，，
直角三角形三边为2，3，；
，
①若为直角三角形的斜边时，则：
，
；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
．
综上，或．
22．（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．