2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系 自主达标测试题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
自主达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．29 B． C．31 D．
3．若方程有一根是1，则另一根是（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．两根均为负数的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
5．设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（　　）
A．9 B．3 C．2 D．
7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．9
二、填空题（满分40分）
9．关于x的方程的两根为、，则 ．
10．若关于x的方程的两根互为倒数，则m的值为 .
11．已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是 ．
12．若、是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m= ；
13．已知：m、n是方程的两根，则 ．
14．若一元二次方程的两个根分别为m、n，则代数式的值为 ．
15．若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
16．关于x的一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则一定是这个方程的实数根；
③若，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若的两个根为6和7，则，是方程的根，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（满分48分）
17．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)若已知方程有两不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若一个面积为15的矩形的两边长正好是方程的两根，求该矩形的周长．
19．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根满足，求的值．
20．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
(2)若方程的两根为、，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
(3)若等腰三角形的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长．
21．阅读材料，解答问题：
已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；
(3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______．
参考答案
1．解：由题意可知：
A. ，两根之和为；故符合题意；
B. ，两根之和为；故不符合题意；
C. ，两根之和为；故不符合题意；
D. ，两根之和为；故不符合题意．
故选：A
2．解：∵是方程的两个实数根
∴，
∴ ，
故选：D．
3．解：设方程的另一根为，
方程有一根是1，
，
解得：，
故选：B．
4．解：A.，，两根均为正数；
B.，，两根为一正一负；
C.，，两根均为负数；
D.，，两根为一正一负．
故答案为：C．
5．解：∵， 是一元二次方程 的两个根，
∴，，。
∴，
∴，
∴，
故选D．
6．解：∵，
∴，
∴x、可看作方程的两根，
∴，
∴．
故选：D．
7．解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，且，
∴且．
故选：．
8．解：设直角三角形的两条直角边分别为，，则，，
∴，
∴直角三角形的斜边长为：，故B正确．
故选：B．
9．解：根据题意得，，
所以．
故答案为：2．
10．解：∵关于x的一元二次方程的两根互为倒数，
∴，且，
∴．
故答案为：．
11．解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴当或都满足判别式大于0，
故答案为：或．
12．解：∵，
∴，
∵、是该方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
经检验，该值为方程的解；
故答案为：．
13．解：∵m、n是方程的两根，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：16．
14．解：∵一元二次方程的两根分别为m，n
∴，，即，
∴．
故答案为：2023．
15．解：∵、分别满足，
∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴ ，
故答案为：．
16．解：①∵，，
∴a、c异号，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，故①正确；
②∵，即，
∴当时，，
∴时，一定有一个根是，故②正确；
③∵，
∴，
当a，c异号时，，
∴，
∴，
当a，c同号时，，且，
∴，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④∵6和7是的两个根，
∴，
∴，
而，
∴是方程的根，故④正确，
故答案为：①②③④
17．（1）解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
∴的值为；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（3）∵
，
∴的值为；
（4）由（2）知：
，
∴的值为．
18．（1）解：方程有两不相等的实数根
解得
（2）解：设矩形两边长分别为：
矩形面积为15
解得，（舍去）
∴原方程化为
∴矩形的两边长之和为9
∴矩形的周长为18
19．（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴；
（2）解：根据题意得：， ，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴ ．
20．（1）证明： ，
无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）解：在中，
，，
∵，
∴，
∴，
化简得：，方程无解，
∴不存在这样的k值；
（3），
解得：，，
若为底边，
则另外两边相等，
∴，
∴的周长为．
若为腰，
则，另外两边为1和2，
而，故构不成三角形，
∴的周长为5．
21．（1）解： ，，且，
，是方程的两个不相等的实数根，
，．
故答案为：7，1；
（2）解： ，，
．
（3）解：由，得．
令，则由，得．
由，得，即．
，，且，
，是方程的两个不相等的实数根，
，即，
．
故答案为：．