北师大版数学九年级上册2.1认识一元二次方程 自主达标测试题 （含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.1认识一元二次方程》
自主达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．xy＋1＝0
2．方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，0 C．3，，0 D．3，
3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（ ）
A． B． C． D．0
4．关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
5．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
6．是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
7．根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个解满足(　　)
B．
C． D．
8．我们知道方程的解是，现给出另一个一元二次方程，它的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（满分40分）
9．若是关于的一元二次方程，则的值为 .
10．一元二次方程化为一般形式后，常数项为 .
11．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 ．
12．若a是方程的解，则代数式的值为 ．
13．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值 .
14．方程的系数a，b，c满足，则方程有一个根为 ．
15．若实数是一元二次方程的一个根，则的值为
16．关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是 ．
三、解答题（满分48分）
17．把下面的方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）； （2）； （3）； （4）．
18．已知是方程的一个根，求代数式的值．
19．先化简再求值：，其中x是方程的根．
20．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
21．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x．
22．阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
参考答案
1．解：A、化简得，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、化简得，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、方程，当时，方程是一元一次方程；当时是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．解：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是、一次项系数是、常数项是，
故选：C．
3．解：把代入得：，
解得：，
故选：B．
4．解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴且，
解得．
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴ ，
故选：C．
6．解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故选：D
7．解：根据表中的数据可得时，，当时，
∴时，
故选：C
8．解：∵方程的解是，
∴或，
解得，
故选：B．
9．解：由题意可知，且，
解得：，且，
∴，
故答案为：3．
10．解：原方程化为一般形式为，
∴常数项为-6，
故答案为：-6．
11．解：根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=-3，
故答案为：-3．
12．解：∵a是方程的解
∴
∴
∴
故答案为：．
13．解：根据题意可得：且，
解得且，
故，
故答案为：．
14．解：∵，
∴
而当时，对于方程有
∴方程有一个根为：
故答案为：
15．解：∵是一元二次方程的一个根，
∴
，，，
=
=
=
=
=
=
=
故答案为：．
16．解：∵，
∴，
∵方程的解是，（、为常数），
∴方程的解是，
∴．
17．解：（1）一般形式：，二次项系数：5，一次项系数：，常数项：0；
（2）一般形式：，二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：；
（3）一般形式：，二次项系数：1，一次项系数：，常数项：；
（4）一般形式：，二次项系数：2，一次项系数：2，常数项：4．
或一般形式为，二次项系数：1，一次项系数：1，常数项：2．
18．解：依题意得：m2-3m+1=0，
∴m2-3m=-1，
∴
=
=
=-2+1
=-1
19．解：原式
20．解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
21．解：（1）依题意得，4x2＝25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2 25＝0．
（2）依题意得，x（x 2）＝100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2 2x 100＝0．
（3）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，．
22．解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．