2023—2024学年冀教版九年级数学上册2 8.1圆的概念及性质教学设计（含答案）

28.1 圆的概念及性质教学设计冀教版九年级数学上册
教学目标
【知识与技能】1．通过观察，操作，归纳，理解圆的两种定义，理解圆的基本元素：弦（直径）、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法．
2．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
3．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【过程与方法】1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2．通过在生活中抽象圆和用圆的知识解决实际问题的过程，体验数学知识来源于生活及数学学习探究的方法；
3．经历观察、操作、推理等数学活动，发展合情推理及有条理的表达。
【情感与态度】1、借助生活中丰富，感性的图片营造出亲切和谐活泼的课堂气氛，激励全体学生积极参与整个活动；
2、经历形成圆及其相关概念的过程，养成学生良好的学习习惯和独立思考的精神。
【教学重点】弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．
【教学难点】点和圆的位置关系及判定．
教学过程
一、创设情境，引出课题
揭示概念的产生背景
在小学，我们已经学过一些圆的知识，并且知道，圆不仅在几何学中占有极重要的地位，而且圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用．
实际生活中，圆形物体的例子很多．请同学们欣赏图片.
生活离不开圆，圆是我们的好朋友。
这一章我们将系统对圆进行研究，这节课我们一起来学习圆的有关概念.（板书课题）
【教学说明】体验所学内容与现实世界的密切联系，引起学生对学习内容的注意，激发学生的学习兴趣。教师讲课前，先让学生完成“课堂自主演练”。
二、观察与思考
1. 观察电动自行车的车轮、皮带传动轮、茶几面和管道的横截面等的视频或图片。
问题1 车轮是什么形状的？
问题2 为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？
师：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。
教师再进一步启发：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？
学生思考，同桌讨论，并回答。
2. 同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法。
学生畅所欲言，然后老师动画演示画圆的过程，总结圆定义并板书。
师生一起画圆：取一根绳子，把一端固定在画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆(教材P146图)．
【教学说明】剖析圆的定义，使学生掌握用运动的观点定义圆，突出圆是封闭曲线，使学生更深刻的理解.
【归纳】平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。如图，它是以点O为圆心，OA的长为半径的圆，记做⊙O，读作：圆O。线段OA也称为⊙O的半径。
【教学说明】学生观察并比较熟记圆的有关概念。
几个概念：
⑴弦和直径．利用下列图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段．指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦．如线段CD，AB，EF，DF都叫做⊙O的弦．（如图2）
进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径．最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍．
⑵弧．继续观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“⌒”表示，如以C、D为端点的弧，记做。
继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧，等，小于半圆的弧叫做劣弧。如图中的，等。
⑶等圆．能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．（用投影或电脑演示圆重合的过程，图3）
⑷等弧．电脑或投影演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
3.概念辨析：
(1)直径是弦，弦是直径．这句话正确吗？（学生口答并说明理由）
教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径．
(2)半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）
教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆．
(3)长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）
教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．（教师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破）
【教学说明】培养学生独立思考的能力，又让学生体会到合作交流的必要性。
4. 对圆概念的进一步理解
练习：请学生说出几种常见的圆形物体．(学生可能会说到杯子、自行车轮子等)然后，教师指导学生分析以下两个问题．
(1)用一根长为a米的绳子，围成一个圆或正三角形或正方形，所围成的图形哪一个面积最大
解：正三角形面积是()，正方形面积是()，圆的面积是()．
∵<<，∴圆的面积最大。
(2)为什么自行车轮子做成圆形
【教学说明】学会探究猜想，了解日常生活中常见的问题的原因所在。
【归纳】（1）学生计算、猜想说明杯子通常做成圆形的一个原因，是因为在相同材料的条件下，圆形杯子的体积最大．（2）因为圆周上的各点到圆心的距离都相等，车子行驶起来比较平稳．
(3) 完成教材第147页练习
思考 确定一个圆的两个必备条件是什么？
【教学说明】圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。在圆的概念的形成过程中，渗透着把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，这在几何的学习中显得非常重要。
注意：说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。
【归纳】圆的集合定义：在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
三、动手与动脑
探究1 让学生在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？
探究2 将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
学生活动：动手操作，探索圆的对称性。
【结论】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
探究2 点和圆的位置关系
由于平面内的一个圆，把平面内所有的点分成三类，即圆上的点、圆内的点和圆外的点．于是点和圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外.
思考 如图，点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外.
1．A、B、C三个点到圆心的距离与⊙O的半径r又怎样的大小关系？
2．若平面上另有一点P，点P到圆心的距离为，你能根据与的大小关系，说出点P与⊙O的位置关系吗？
学生独立思考后，小组之间合作交流.通过观察从特殊点去感受“点与圆的位置关系”与“点到圆心的距离与半径之间的数量关系”之间的关系。
【教学说明】整个过程为学生提供了充分的从事数学研究和交流的机会，使学生主动观察、讨论、概括得到新知，亲历了“做数学”，的过程.
【归纳】圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合．
点和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系是相互对应的，这种对应关系是：设圆心为O，半径为r，点P到点O的距离为d，则有
点P在圆内OP＜r
点P在圆上OP＝r
点P在圆外OP＞r
四、典例精析，运用新知
例 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以A为圆心，3cm为半径作圆．试判断：
（1）点C与⊙A的位置关系；
（2）点B与⊙A的位置关系；
（3）AB的中点D与⊙A的位置关系．
分析：要想知道点C、B、D与⊙A的位置关系，只需求出点C、B、D到点A的距离，即线段AC、AB、AD的长度，在与半径的大小进行比较。
【教学说明】及时运用所学知识解决问题.
解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，
∴AC=3cm，BA=5cm，DA=2.5cm，
（1）∵AC=r=3cm，∴点C在⊙A上；
（2）∵BA=5cm＞3cm，∴BA＞r，∴点B在⊙A外；
（3）∵DA=2.5cm＜3cm，∴DA＜r，∴点D在⊙A内．
五、反馈练习，巩固新知
1．下列说法中，结论错误的是（　　）
A． 直径相等的两个圆是等圆
B． 长度相等的两条弧是等弧
C． 圆中最长的弦是直径
D． 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（　　）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（ 1，0）D．（﹣1，0）
3．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A． 点到A在⊙O上 B． 点A在⊙O内
C． 点A在⊙O外 D． 点A与圆心O重合
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20．若以点A位圆心，以20为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
【教学说明】学生运用新知及时巩固，使每个学生都有收获；感受成功的喜悦，让自己同时肯定以前探索活动的意义。
【答案】1. B 2. B 3. C 4. 解：连接AC．
∵AB=15＜20，∴点B在⊙A内；
∵AD=BC=20，∴点D在⊙A上；
在△ABC中，∵∠B=90°，AB=15，BC=20，
∴AC=25＞20，∴点C在⊙A外．
六、课堂小结，回顾反馈
1.这节课你学习了那些知识？学习了哪些数学思想方法？
2.你运用怎样的方法来获得这些知识的？
3.通过今天的学习你有什么收获？
师生一起进行小结.
【教学说明】小结注重知识和方法两方面，让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。
课后作业
1.布置作业：从教材“习题28.1”中选取。
2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
教学反思：本节课是学生在小学学习过程中对圆有了初步的认识，并且在前面学习了轴对称和旋转的基础上展开的，因此在教学设计中结合生活实际，从学生已有的知识水平出发，让学生举例说明生活中的圆。一方面使学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，体现数学与生活的密切联系；另一方面从中提出问题，让学生自然而然地进入新知识的探索和学习中。
在学习过程中，力求学习方法的改变，鉴于本节课要学习的内容学生有一定的生活经验和认知基础，因此让学生动手操作作实验，在实践中发现圆的形成过程和圆的性质。