22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质同步练习题2023—2024学年人教版数学九年级上册（含答案）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
2．在函数，y随x增大而减小，则x的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是，当时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的顶点在第四象限，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．将二次函数化成的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（　　）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
二、填空题
9．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式______．
10．二次函数的最小值是___________．
11．二次函数图象的顶点所在的图象对应的函数表达式为__________．
12．若，为抛物线上两点，则_______．
13．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________．
14．把抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的抛物线解析式是________．
15．若二次函数有最大值6，则的最小值为____．
16．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________．
三、解答题
17．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
18．在平面直角坐标系中画出函数的图像．
(1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系．
(3)根据图像说明，何时随的增大而减小．
19．已知函数．
(1)函数的图象和已知函数的图象关于轴成轴对称，求出的表达式．
(2)函数的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，求出的表达式．
(3)函数和的图象有怎样的位置关系证明你的结论．
20．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
21．已知抛物线L：与y轴交于点A．
(1)点A坐标为________；
(2)如图，点在抛物线L上，其中的横坐标为（，1，2，…），分别记为，，，…，，顶点为的抛物线经过点A，交过点A且与x轴平行的直线于点（，1，2，…），分别记为，，，…，．
①当时，求经过，两点抛物线的解析式；
②求，的坐标．（用含n的代数式表示）
③求及的长度．（用含n的代数式表示）
参考答案
1．解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标，
故选：A．
2．解：在中，
∵，
∴函数图像开口向上，
当时，随的增大而减小．
故选：D．
3．解：∵抛物线
∴对称轴是直线，
故选：B
4．解：∵，
∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值．
故选D．
5．解：A、的顶点是，故不符合题意；
B、的顶点是，故不符合题意；
C、的顶点是，当时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、的顶点是，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
故选：D．
6．解：∵抛物线的解析式为
∴抛物线的顶点坐标为
∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0
∴，
∴，
故选：D．
7．解：
．
故选：B．
8．解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
时，在，
当时函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
9．解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
10．解：∵，开口向上，顶点坐标为，
∴二次函数的最小值是，
故答案为：．
11．解：抛物线的顶点坐标为：，
令，，
则，
∴，
∴顶点所在的函数图象的表达式为：．
故答案为：．
12．解：∵，是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，解得，
∴，，
当时，，
故答案为：2022．
13．解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，且开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵当时，的最小值为，，
∴当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．解：函数向左平移3个单位，得：；
再向下平移2个单位，得：；
故答案为：．
15．解：∵二次函数有最大值6，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称
∴的顶点坐标为，且开口向上，
∵向上平移4个单位得到：
此时顶点坐标为，则最小值为
故答案为：
16．解：，
∴顶点坐标是，
点关于直线对称的点是，
∴．
故答案为：．
17．解：（1）．
（2）∵二次函数，
∴该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
18．（1）解：列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 …
… 1 2 3 4 5 …
… 0 …
描点连线，画出二次函数和的函数图象如图所示：
，
，
该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：由图象可知：
二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的；
（3）解：由图象可知：
当时，随的增大而减小．
19．（1）解：设是函数图象上的一点，
∴点关于y轴对称的点的坐标为，
∵函数的图象和已知函数的图象关于轴成轴对称，
∴点在函数的图象上，
∴，
∴函数的表达式为；
（2）解：设是函数图象上的一点，
∴点关于原点成中心对称的点的坐标为，
∵函数的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，
∴点在函数的图象上，
∴，
∴
∴函数的表达式为；
（3）解：函数和的图象关于x轴对称，证明如下：
设函数和函数关于x轴对称，
设是函数图象上的一点，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
∵函数和函数关于x轴对称，
∴点在函数的函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴函数与函数是同一个函数，
∴函数和的图象关于x轴对称．
20．解：（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
21．（1）解：令，则，
∴点A坐标为，
故答案为．
（2）①当时，点的横坐标为，
又∵在上，
∴纵坐标为：，
∴
设的抛物线为：，
把(0，1)代入得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：或，
∴．
②∵的横坐标为，
∴纵坐标为，
∴，
∵过点A且与x轴平行的直线于点，
∴A与关于对称轴，
∴，
∴，
又，
∴．
③由②可得：，，
∴，
．