2022-2023学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是( )
A. B. C. D.
4. 已知反比例函数上的图象经过点，则这个反比例函数的图象在( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限
5. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是( )
A. 平分
B.
C.
D.
6. 在如图所示的三个矩形中单位：，相似的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
7. 已知、是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知是的反比例函数，如下表给出了与的一些值，表中“”处的数为______ ．
12. 两个最简二次根式和是同类二次根式，则 ______ ．
13. 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于平方步，且它的宽比长少步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是步，则可列方程为______．
14. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，水杯的截面可看作一个宽厘米，长厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边与水面的交点恰为的中点，那么此时水面高度是______ 厘米．
15. 如图，中，，两个顶点在轴的上方，点在轴上，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的纵坐标是，则点的纵坐标是______ ．
16. 如图，是等边三角形，点，分别为边，上的点，，若，，则的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
四、解答题（本大题共8小题，共61.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
．
19. 本小题分
用公式法解方程：．
20. 本小题分
下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
题目 测量小河的宽度的长
测量目标示意图
相关数据 ，，．
21. 本小题分
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化请用分母有理化解答下列问题：
化简：；
化简：．
22. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
求实数的取值范围；
当时，求的值．
23. 本小题分
直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
求反比例函数的表达式；
观察图象当时，直接写出关于的不等式的解集；
若点是轴上一动点，当的面积是时，求出点的坐标．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动有一点到达终点，另一点也停止运动若，同时出发，运动时间为．
用含的代数式分别表示线段和的长；
当为何值时，与相似？
25. 本小题分
如图，矩形与有公共顶点，，，连接，交于点．
探索线段与的关系，并写出证明过程；
连接，，若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，不是最简二次根式，不符合题意；
C.，不是最简二次根式，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意．
故选：．
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数上的图象经过点，
，
此反比例函数图象在第一，三象限．
故选：．
根据题意先确定的正负，再确定函数图象经过的象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在和中，，
如果∽，需满足的条件有：
或是的平分线；
；
故选：．
已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：矩形甲与矩形乙对应角相等，对应边的比，即对应边成比例，
矩形甲与矩形乙相似，
故A符合题意；
矩形甲与矩形丙的对应角相等，但，，
，即对应边不成比例，
矩形甲与矩形丙不相似，
故B不符合题意；
矩形乙与矩形丙的对应角相等，但，即对应边不成比例，
矩形乙与矩形丙不相似，
故C不符合题意，不符合题意，
故选：．
由矩形甲与矩形乙对应角相等，对应边的比，可知矩形甲与矩形乙相似，可判断符合题意；由矩形甲与矩形丙的对应角相等，但，，可知矩形甲与矩形丙不相似，可判断不符合题意；由矩形乙与矩形丙的对应角相等，但，可知矩形乙与矩形丙不相似，可判断不符合题意，不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似多边形的定义，正确理解“两个边数相同的多边形相似的条件是对应角相等，且对应边成比例”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握、是解题的关键．根据根与系数的关系以及一元二次方程的解即可得出、、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：、是方程的两个实数根，
，，，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明∽，求得：，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：，
∽，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：在菱形中，，菱形边长为，
，，
点的坐标为，
顶点在反比例函数的图象上，
，得，
即，
故选：．
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点的坐标，从而可以求得的值，进而求得反比例函数的解析式．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点的坐标．
10.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．
11.【答案】
【解析】解：设反比例函数解析式为，即，
，
反比例函数解析式为．
当时，，
代表的数是：．
故答案为：．
设反比例函数解析式为，即，根据已知的两个点的坐标得出，得出反比例函数解析式，代入，就可计算出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标之积是常数．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，
解得，
所以．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义求出，的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设矩形田地的宽为步，则矩形田地的长为步，
依题意得：．
故答案为：．
设矩形田地的宽为步，则矩形田地的长为步，根据矩形田地的面积等于平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图所示：作于点，
由题意可得，，，
在中，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意知，与的位似，且相似比是：，
点的纵坐标是，
点的纵坐标是，
因为点位于第一象限，
所以．
因为点的位于第三象限，
所以点的纵坐标是．
故答案为：．
根据两个三角形的相似比是：计算即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的竖直距离等于对应边的比是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，
∽，
，
设，则，
，
或，
经检验，或是原分式方程的解，
或．
故答案为：或．
根据等边三角形的性质证明∽，得，设，则，然后代入数值求得结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，得到∽是解决本题的关键．
17.【答案】解：设每台冰箱应降价元，每台冰箱的利润是：元，卖台，
列方程得，
，
，
解得，；
要使百姓得到实惠，只能取，
答：每台冰箱应降价元．
【解析】此题利用每一台冰箱的利润每天售出的台数每天盈利，设出每台冰箱应降价元，列方程解答即可．
此题考查基本数量关系：每一台冰箱的利润每天售出的台数每天盈利．
18.【答案】解：原式
．
【解析】将二次根式化简，前一个括号提与后一个括号相乘，再利用平方差公式．
本题考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
19.【答案】解：，
，
，
，．
【解析】先求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
20.【答案】解：由题意得：，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
小河的宽度为．
【解析】根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
21.【答案】解：
；
．
【解析】根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
根据式子的特点，先分母有理化，再化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：由题意有，解得，．
即实数的取值范围是
由得，
若，即，解得．
，
不合题意，舍去．
若，即，
，由知．
故当时，．
【解析】本题考查了根的判别式与根与系数的关系，熟悉配方法是解题的关键．
令即可求出的取值范围；
将转化为即可解答．
23.【答案】解：点和点在直线上，
，
，．
，，
把代入中，得．
反比例函数的表达式为．
要使当时，满足，只要一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，也就是直线的图象在反比例的上方，在，两点之间，
当时，的解集为．
直线的表达式为，当时，．
点坐标为，
，
．
，
的坐标为或．
【解析】根据一次函数表达式，先求出，两点坐标，再确定反比例；
观察图象即可得出答案；
利用三角形面积公式可求出，进而求点坐标．
此题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，并与三角形面积结合，难度不大．
24.【答案】解：，，
，
点的速度是每秒个单位，点的速度是每秒个单位，
，；
是直角时，∽，
，
即，
解得，舍去；
是直角时，∽，
，
即，
解得，
综上所述，时，与相似．
【解析】利用勾股定理列式求出，再表示出；
分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
25.【答案】解：，．
证明：四边形是矩形，
．
，
．
．
，
∽．
，．
．
．
如图，连接．
四边形是矩形，
．
，，，
，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
．
在中，．
在中，．
．
．
【解析】证明，根据，得∽，可得，，从而得出；
连接，利用相似三角形的性质求出、的长度，进而得出，再利用勾股定理及等量代换得出，即可求出的值．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用这些性质是解决问题的关键．
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