2022-2023学年内蒙古通辽市科左中旗实验高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年内蒙古通辽市科左中旗实验高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若，是二次函数的两个零点，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 函数零点的个数是( )
A. B. C. D. 无数个
4. 是定义域为的奇函数，，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
6. 若，，且满足，，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
9. 幂函数在上是减函数，则实数 值为( )
A. B. C. 或 D.
10. 若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
11. 若，则曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与的一个交点为，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若内切圆半径为，则椭圆的离心率为______ ．
14. 若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为______．
15. 已知点为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则 ______ ．
16. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且过点，求这个椭圆的方程．
18. 本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，求．
19. 本小题分
求适合下列条件的曲线的标准方程．
实轴长为，焦点坐标为，求双曲线的标准方程；
焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程．
20. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最值．
21. 本小题分
设．
Ⅰ求函数的单调递增区间；
Ⅱ若函数的极大值为，求函数在上的最小值．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程；
若射线：与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
则．
故选：．
求出集合，，再求其并集即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，是二次函数的两个零点，
故，是的两个根，
则，且，则且，
故．
故选：．
根据函数零点的定义可知，是的两个根，可得，的关系式，代入化简，即得答案．
本题主要考查函数的零点与方程的根，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为函数；
令求得，或，
故函数的零点有个，即或，
故选：．
利用函数的零点的定义，求得函数的零点，可得结论．
本题主要考查函数的零点的定义，求函数的零点，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由知，函数是以为周期的周期函数，
又是奇函数，，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用函数的周期性及奇偶性求解作答．
本题考查函数的周期性，奇偶性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
所以，
所以的周期为，
所以．
故选：．
由题意可得函数的周期为，然后利用周期和，可求得结果．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，，得，即，解得，
把代入，得，即，两边平方得，由得，
则．
故选：．
由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值．
本题主要考查指数的运算以及计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于，因为，，，
显然在上不单调，D错误．
故选：．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断，举反例排除即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，则，
因为，
所以，
综上所述，．
故选：．
先确定，的范围，然后利用作商法结合对数的运算判断，的大小，利用指数函数的性质可得的范围，综合可得解．
本题考查数的大小关系，解题中注意估值思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：幂函数，
，
解得，或；
又时为减函数，
当时，，幂函数为，满足题意；
当时，，幂函数为，不满足题意；
综上，，
故选：．
根据幂函数的定义，令，求出的值，再判断是否满足幂函数在上为减函数即可．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的值．
10.【答案】
【解析】解：由曲线在点处的切线方程为，得，且，
设，则，得，
故曲线在点处的切线斜率为．
故选：．
求出函数的导函数，再结合导数的几何意义求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
取，得，，
则，可得，
曲线在处的切线方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，可得，进一步求出，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，求解是关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为与的一个交点为，可得轴，
所以，
由双曲线的性质定义可得，
又因为，
可得，可得，
即，
可得离心率．
故选：．
由题意可得的大小，再由双曲线的定义可得的大小，再由题意可得，的关系，进而可得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设为坐标原点，的外心必在线段上，的方程为，
可得，得，
即，得，
椭圆的离心率为．
故答案为：．
由题意画出图形，利用点到直线的距离等于半径，转化求解，即可求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的几何性质，考查圆与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：双曲线经过点，
，，解得．
又，
则该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
双曲线经过点，代入，，解得，进而得出渐近线方程
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，的方程为，代入的方程，得，
设，，则，；
因为，，且，
所以，整理得以，
所以，结合，解得．
故答案为：．
通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，，根据根与系数关系即可得出，与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
所以复数的共轭复数为．
故答案为：．
根据复数的运算结合共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．
17.【答案】解：椭圆的中心在原点，焦点在轴上且过点，
，又，
，
，
故这个椭圆方程是．
【解析】利用椭圆过点，离心率和，，关系即可得出椭圆方程．
本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为；
由，得，
则，
设，，则，，
所以．
【解析】根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：双曲线焦点坐标，
双曲线为实轴在轴上的双曲线，且，
又实轴长为，即，得，
，则，
双曲线标准方程为：；
由题意可设抛物线方程为，
且，则抛物线方程为：．
【解析】由题意可知，双曲线为实轴在轴上的双曲线，并求得与的值，代入隐含条件求得，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．
由题意设抛物线方程为，再由焦点到准线的距离为，得，则抛物线方程可求．
本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，并考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题．
20.【答案】解：Ⅰ对函数求导，，
，，
所求得的切线方程为，即；
Ⅱ由Ⅰ有，
令，解得：或者，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为，最小值为．
【解析】Ⅰ直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线；
Ⅱ令其导函数大于，判断函数在的单调性从而确定最值．
本题主要考查导函数中切线问题及封闭区间的最值问题分析．属于基础题．
21.【答案】Ⅰ，
由得或，
的单调递增区间为和；
Ⅱ由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得，
则，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
在上的最小值为．
【解析】Ⅰ对求导，由即可求解单调递增区间；
Ⅱ由极值的性质可求得的值，再判定函数的单调性进而可得最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，曲线的普通方程为．
根据，
转化为极坐标方程为．
将代入，得，．
将代入，
得，
解得或舍．
．
【解析】先将参数方程转化为普通方程，再根据转化为极坐标方程即可；
运用极坐标方程的弦长公式即可解决．
本题考查极坐标与参数方程相关知识，属于中档题．
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