2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，则曲线在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2. 为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者现从所有报名的志愿者中，随机选取人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图所示，则下列关于样本数据的分析正确的是( )
A. 老年男性志愿者人数为
B. 青年女性志愿者人数为
C. 老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D. 中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
3. 一个火车站有股岔道，如果每股道只能停放列火车，现要停放列不同的火车，则不同的停放方法数为( )
A. B. C. D.
4. 袋子里有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，有放回的取次，每次随机取个，设此过程中取到黑球的次数为，则( )
A. B. C. D.
5. 已知，且，则实数( )
A. B. C. D.
6. 已知是定义在上的函数，是的导函数，若，，则的解集是( )
A. B. C. D.
7. 将三项式展开，得到下列等式：
；
；
；
；
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：
若关于的多项式的展开式中，的系数为，则实数( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在，使得成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增 B. 有两个极值点
C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线
10. 已知离散型随机变量的分布列为
则下列说法正确的是( )
A. 或 B. C. D.
11. 为调查某地区植被覆盖面积单位：公顷和野生动物数量的关系，某研究小组将该地区等面积划分为个区块，从中随机抽取个区块，得到样本数据，经计算得：，，，该小组利用这组数据分别建立了关于的线性回归方程：和关于的线性回归方程：，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与植被覆盖面积和野生动物数量一致则下列说法正确的是( )
附：关于的线性回归方程中，，，．
A. B. C. 经过点 D. 经过点
12. 记两个函数，的图象的公共点个数是，则( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则的值为______ ．
14. 已知随机变量，若，，则的值为______ ．
15. 已知函数在上单调递增，则的最小值为______ ．
16. 为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
年月日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计
男生
女生
合计
已知从这名学生中随机抽取人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整；
根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？
附：
参考公式：，其中．
18. 本小题分
已知．
求的值；
求的二项展开式中的常数项．
19. 本小题分
已知函数．
若在处取得极值，求实数的值；
讨论的单调性．
20. 本小题分
某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止已知每次挑战是否成功相互独立．
若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为，第二轮每次挑战成功的概率为，求选手甲可以进入第三轮的概率；
已知共有名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分，其中分以上的选手有名，学校决定对得分高的前名选手进行表彰，若选手乙的得分为分，问乙能否获得表彰．
附：若随机变量，则；；．
21. 本小题分
为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．
现从试产的新产品中取出件产品，其中恰有件次品，但不能确定哪件是次品，需对件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望；
设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立记“从试产的新产品中随机抽取件，其中恰有件次品”的概率为，问取何值时，最大．
22. 本小题分
已知函数，其中．
若存在唯一的极值点，求的取值范围；
若存在两个极值点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，可得，所以，
因此曲线 在点处的切线的斜率为；
故选：．
求导，求出即为切线斜率，然后求出切线方程即可；
本题考查了利用导数研究函数的切线斜率的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据饼状图老年志愿者占比，则人数为，故A错，
青年志愿者占比，则人数为人，而女性占比，则青年女性志愿者人数为，故B正确；
老年女性志愿者人数为人，中年女性人数为人，则C错误；
中年男性志愿者人数为人，青年男性志愿者人数为，则D错误．
故选：．
根据统计图表可依次判断．
本题考查统计相关知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：一个火车站有股岔道，如果每股道只能停放列火车，现要停放列不同的火车，
则不同的停放方法数为．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合排列数的运算求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了排列数的运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，
每一次取到黑球的概率为，则取到白球的概率为，
所以．
故选：．
先确定表示三次中，有且只有一次取到黑球，再求出每一次取到黑球的概率，进而求解即可．
本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：已知，且，
则令，可得，解得．
故选：．
令，即可求解的值．
本题主要考查二项式定理，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：记，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
由知，所以原不等式等价于，
又因为，所以，
所以原不等式等价于，即，
所以，解得，即的解集是．
故选：．
根据条件的结构特征构造函数，利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成形式，结合已知可解．
本题考查了导数的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
则的展开式中，的系数为，
又的系数为，
则，
即．
故选：．
由题意可得：，然后结合二项式定理求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了归纳推理，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知函数，
此时函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
因为动点在函数的图象上，动点在直线上，
要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，
易知，，
此时，
解得，
则点到直线的最小距离，
所以，
若存在，使得成立，
此时，
即直线与直线垂直，点恰好为垂足，
因为，
所以，
解得，
则．
故选：．
由题意，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，因为动点在函数的图象上，动点在直线上，此时问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，利用点到直线的距离公式再按部就班进行求解即可．
本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值，
当时，；当时，，
作出函数图象如下所示：
所以函数在区间上单调递减，故选项A错误；
函数有两个极值点，别分为，，故选项B正确；
函数存在两个零点，故选项C错误；
不妨设切点为，
则曲线在切点处的切线方程为，
即，
若直线是曲线的切线，
此时，
解得，符合题意，
则直线是曲线的切线，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，作出函数图象，利用数形结合即可判断选项A、、，设切点为，求出曲线在切点处的切线方程，若直线是曲线的切线，列出等式求出切点坐标，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由的分布列，有，解可得或，
又由，则，A错误；
对于，由的结论，，
则离散型随机变量的分布列为
则，B正确；
对于，，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
根据题意，由分布列的性质可得有，由此求出的值，可得A错误，进而求出、可得、C正确，再分析的值，可得D错误，综合可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及期望、方差的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，因为，
所以，即选项B错误；
对于选项C和，由题意知，，，
所以线性回归方程和均经过样本中心点，即选项C和D正确．
故选：．
根据参考数据与公式计算的值，可判断；由回归系数的计算公式，可知，从而判断；计算样本中心点，即可判断选项C和．
本题考查线性回归方程，理解回归系数的求法，样本中心点的含义与求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，当，时，，，，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由此可得两函数有个交点，所，故A错误；
对于，当，时，，，，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由此可得两函数有个交点，所，故B正确；
对于，当，时，，，，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由此可得两函数有个交点，所，故C正确；
对于，当，时，，，，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由此可得两函数有个交点，所，故D正确．
故选：．
对每一选项，作出与的图象，由两函数图象的交点个数即可判断．
本题考查了正切函数的图象、幂函数的图象、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，即，且，
则，
则．
故答案为：．
根据排列数与组合数相关运算可解．
本题考查排列组合数公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为随机变量，若，，
则对称轴为，
则，
则．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，因为在上单调递减，
所以，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
由题意可得以在上恒成立，即在上恒成立，令，求出的范围，即可求解的最小值．
本题这样考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：黄皮非红肉的番茄为，
因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占，
所以，解得，
因此．
故答案为：．
首先计算黄皮非红肉的番茄的概率，再根据果肉不是红色的番茄中果皮为黄色的占比，求出非红肉番茄的概率，进而求出红肉番茄的概率．
本题考查古典概型及其概率计算，属基础题．
17.【答案】解：由题意可得：
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计
男生
女生
合计
零假设为：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系，
故依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联．
【解析】根据题意可补充列联表；
利用独立性检验相关知识可解．
本题考查独立性检验思想，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
解得；
由知，，
的通项公式为，，，，，
令，解得，
展开式中的常数项为，
故二项展开式中的常数项为．
【解析】根据二项式定理可解；
求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为，由此即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
19.【答案】解：依题意，，
则，
解得：，
经检验，符合题意．
函数定义域为，因为，
所以，当时，在单调递增；
当时，若，，在递减，
若，，在递增；
当时，若，，在单调递减，
若或，，在和递增；
当时，若，，在单调递减，
若或，，在和单调递增；
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，在和单调递增；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在和单调递增．
【解析】代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可．
本题考查了函数的单调性，极值考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
20.【答案】解：设：第次通过第二关，：第次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为，
由题意知．
选手得分，
对称轴为，
，且，
，且，
，则，
前名参赛者的最低得分高于，而乙的得分为分，所以乙无法获得奖励．
【解析】根据全概率公式可解；
利用正态分布曲线的对称性可解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意可知的取值可能为，，，，
则可以得到：，，，，
则的分布列为：
所以．
由题意可得，
所以，
令，解的，
因为当时，，所以为单调增函数；
因为当时，，所以为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
【解析】根据的取值分别为，，，，求得的分布列，进而求解即可；
根据题意求出的表达式，再根据求导，判断单调性即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
22.【答案】解：已知，其中，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一变号零点，
即函数存在唯一的极值点，符合题意；
当时，
易知函数在上单调递增，
此时函数无极值点，不符合题意；
当时，
令，
解得，
因为为增函数，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
又，
当，即时，
易知，
所以，在上单调递增，
此时函数无极值点，不符合题意；
当，即时，
易知，
又，
，
此时在上存在两个变号零点，
即函数在上存在两个极值点，不符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为；
证明：若存在两个极值点，，
由知，只有当且，均为正数时满足条件，
此时，，
即，
要证，
需证，
即证，
因为，，
所以，
对等式两边同时取对数，可得，
此时，
即，
下证，
不妨设，
令，，
此时需证，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
所以当时，恒成立，
即成立，
可得，
即，
故．
【解析】由题意，对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导，分别讨论当，和这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
结合中信息可知只有当且，均为正数时满足条件，整理得，将求证，转化成求证，利用对数的运算性质可得，再证，利用换元法，令，，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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