6.2指数函数 第2课时 指数函数及其性质的应用 讲义（含答案）

编号：034 课题:§6.2.2 指数函数及其性质的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解指数函数的概念；
2.进一步掌握指数函数的图象和性质；
3.会解答指数型函数的单调性及值域问题；
4.理解并掌握指数函数性质的综合应用，以及解决简单的指数函数模型的实际运用问题．
本节重点难点
重点：指数型函数的单调性及值域问题；
难点：指数函数性质的综合应用和指数函数模型的实际运用．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.指数函数
一般地,函数叫作指数函数,它的定义域是.
【思考】
当指数函数的底数a=0,a=1,a<0时,对自变量x的取值有何影响
2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域:_______
(2)值域: _______
(3)图象过定点_______,图象在x轴上方
a>1 0性质 (4)在(-∞,+∞)上是增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
【课前小题演练】
题1．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　)
A．50% B．40% C．30% D．20%
题2．若a＞1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的(　　)
题3．已知函数f(x)＝ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
题4．函数y＝3的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2]　　 B．[2，＋∞)
C．[1，2] D．[1，3]
题5．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的大致图象为(　　)
题6．设函数f(x)＝，则满足f>f成立的x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题7(多选题)．已知函数f(x)＝ax－a－x(a>1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上是奇函数
B．函数f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)在R上是偶函数
D．函数f(x)在R上是增函数
题8(多选题)．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a＞1 B．b＞0
C．0＜a＜1 D．b＜0
题9．若函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________.若在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.
题10．函数的单调增区间是______，值域为________．
题11．已知函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2.
(1)求f(x)的解析式．
(2)求f(x2＋2x)在区间[－2，1]上的值域．
【课堂检测达标】
题12．函数的单调递减区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
题13．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题14(多选题)．若方程ax－x－a＝0有两个解，则a的值可以是(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
题15(多选题)．定义在上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的单调递减区间是
B．f(x)的单调递增区间是
C．f(x)的最大值是f(0)＝2
D．f(x)的最小值是f(1)＝－6
题16．若函数y＝0.5|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
题17．若max表示a，b两数中的最大值，若f(x)＝max，则f(x)的最小值为______；若f(x)＝max关于x＝2 020对称，则t＝________．
题18．已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－.
(1)求函数f(x)在(0，1]上的值域；
(2)若x∈(0，1]时，函数y＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值．
题19．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a＋.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由．
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的最大值．
【综合突破拔高】
题20．函数y＝2－|x|的大致图象是(　　)
题21．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有(　　)
A．00 B．0C．a>1，b<0 D．a>1，b>0
题22．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－1－3的图象必经过定点(　　)
A．(1，－2) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(0，0)
题23．已知a，b为实数且a>b>0，则下列所给4个不等式中一定成立的序号是(　　)
①<　②2 022a－2 021>2 022b－2 021　③a＋b＋2>2＋2
④＋>
A．②④ B．①③
C．②③④ D．①②③④
题24．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　)
题25．设f(x)＝＋x2，则f>f＋a2＋a的解集为(　　)
A． B．∪
C． D．
题26 (多选题)．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
D．f＜
题27(多选题)．若函数f(x)＝， 则该函数在(－∞，＋∞)上是 (　　)
A．单调递减 B．无最小值
C．单调递增 D．有最大值
题28(多选题)．若函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)，在[0，1]上的最大值比最小值大，则a等于(　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
题29(多选题)．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，可能成立的是(　 )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．a>0，b>0，c>0 D．2a＋2c<2
题30(多选题)．下列说法正确的是 (　 　)
A．函数f(x)＝在定义域上是减函数 B．函数f(x)＝2x－x2有且只有两个零点
C．函数y＝2|x|的最小值是1 D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
题31．函数的单调递减区间为________，值域是________．
题32．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝________．
题33．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域和单调递减区间．
题34．已知函数f(x)＝m·4x－2x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，求实数m的取值范围．
编号：034 课题:§6.2.2 指数函数及其性质的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解指数函数的概念；
2.进一步掌握指数函数的图象和性质；
3.会解答指数型函数的单调性及值域问题；
4.理解并掌握指数函数性质的综合应用，以及解决简单的指数函数模型的实际运用问题．
本节重点难点
重点：指数型函数的单调性及值域问题；
难点：指数函数性质的综合应用和指数函数模型的实际运用．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 指数函数
一般地,函数叫作指数函数,它的定义域是.
【思考】
当指数函数的底数a=0,a=1,a<0时,对自变量x的取值有何影响
提示:(1)如果a=0,当x>0时,恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,无意义.
(2)如果a<0,例如,这时对于,该函数无意义.
(3)如果a=1,则是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域:_ _
(2)值域: ___ __
(3)图象过定点__ __,图象在x轴上方
a>1 0性质 (4)在(-∞,+∞)上是增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
【课前小题演练】
题1．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　)
A．50% B．40% C．30% D．20%
【解析】选B.设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝＝0.4＝40%.
题2．若a＞1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的(　　)
【解析】选C.因为a＞1，所以函数y＝ax在R上单调递增，可排除选项B与D.y＝(1－a)x2是开口向下的二次函数，可排除选项A.
题3．已知函数f(x)＝ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
【解析】选A.因为f(x)＝ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，所以f(x)在(0，2)内单调递减，所以0＜a＜1.
题4．函数y＝3的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2]　　 B．[2，＋∞)
C．[1，2] D．[1，3]
【解析】选A.令u＝－3＋4x－x2，y＝3u为增函数，所以y＝3的增区间就是u＝－3＋4x－x2的增区间(－∞，2].
题5．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的大致图象为(　　)
【解析】选D.f(x)＝，f(x)的定义域为R，f(0)＝0，排除A、C选项．f＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B选项．
题6．设函数f(x)＝，则满足f>f成立的x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.画出f(x)的图象如图所示，
由于f>f，
所以或，这两个不等式组无解，所以满足f>f成立的x的取值范围是空集．
题7(多选题)．已知函数f(x)＝ax－a－x(a>1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上是奇函数
B．函数f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)在R上是偶函数
D．函数f(x)在R上是增函数
【解析】选AD.因为f(x)＝ax－a－x，所以f(－x)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f(x)＝ax－a－x＝ax－(a>1)，且y＝ax(a>1)与y＝－(a>1)均为增函数，所以f(x)在R上是增函数．
题8(多选题)．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a＞1 B．b＞0
C．0＜a＜1 D．b＜0
【解析】选CD.从题干曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从题干曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位而得到的，所以－b＞0，即b＜0.
题9．若函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________.若在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.
【解析】y＝2在(－∞，3)上递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在
(－∞，3)上递增，
因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.
若函数在上不单调，则－1≤≤1，
解得－2≤a≤2.
答案：a≥6　－2≤a≤2
题10．函数的单调增区间是______，值域为________．
【解析】设t＝，由1－x2≥0得－1≤x≤1，
则函数t＝在[0，1]上为减函数，
因为为减函数，所以根据复合函数单调性之间的关系知函数f(x)此时为增函数，故函数f(x)的增区间为[0，1]，
因为t＝∈[0，1]，为减函数，
所以≤f(x)≤1，即函数的值域为.
答案：[0，1]　
题11．已知函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2.
(1)求f(x)的解析式．
(2)求f(x2＋2x)在区间[－2，1]上的值域．
【解析】(1)因为函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2，所以f(2)＝a2－a＝2，所以a＝－1(舍去)或a＝2，所以函数f(x)＝2x－2.
(2)令t＝x2＋2x，－2≤x≤1，因为t＝(x＋1)2－1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，所以t在[－2，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，所以x＝－1时，t取得最小值－1.又函数f(t)＝2t－2，当－1≤t≤3时为增函数．
所以2－1－2≤f(t)≤23－2，即－≤f(t)≤6，
故f(x2＋2x)在区间[－2，1]上的值域为.
【课堂检测达标】
题12．函数的单调递减区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
【解析】选B.由函数，结合复合函数单调性知识可知，它的减区间，即为y＝x2＋2x的增区间．由二次函数的性质可得y＝x2＋2x的增区间为(－1，＋∞).
题13．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为f(x)是R上的减函数，
所以解得题14(多选题)．若方程ax－x－a＝0有两个解，则a的值可以是(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
【解析】选CD.当a＞1时，y＝x＋a与y＝ax的图象有两个交点；当0＜a＜1时，y＝x＋a与y＝ax的图象有一个交点．
题15(多选题)．定义在上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的单调递减区间是
B．f(x)的单调递增区间是
C．f(x)的最大值是f(0)＝2
D．f(x)的最小值是f(1)＝－6
【解析】选ACD.设t＝3x，x∈[－1，1]，它是增函数，且t∈，30＝1，
f(x)＝y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2，它在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
因此f(x)在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，A正确，B错误，
f(x)max＝f(0)＝2，C正确，f(－1)＝，f(1)＝－6，最小值是－6，D正确．
题16．若函数y＝0.5|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝0.5|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，所以就是求函数m＝－0.5|1－x|的值域问题．
所以m＝－0.5|1－x|的值域为[－1，0).
故实数m的取值范围是[－1，0).
答案：[－1，0)
题17．若max表示a，b两数中的最大值，若f(x)＝max，则f(x)的最小值为______；若f(x)＝max关于x＝2 020对称，则t＝________．
【解析】因为|x|2－2＝4x－4＝4，所以x≥1时，|x|≥，x<1时，|x|<.
故f(x)＝max＝，当x≥1时，函数单调递增，f(x)≥f(1)＝e，且当x＝1时，取得最小值e；当x<1时，函数单调递减，f(x)>e，故f(x)的最小值为f(1)＝e；
若f(x)＝max关于x＝2 020对称，由函数y＝e|x|的图象关于x＝0对称，函数y＝e|x－t|的图象关于x＝t对称，即有函数f(x)的图象关于x＝对称，可知＝2 020，求得t＝4 040.
答案：e　 4 040　
题18．已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－.
(1)求函数f(x)在(0，1]上的值域；
(2)若x∈(0，1]时，函数y＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值．
【解析】(1)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)，
所以f(－x)＝－＝－2x.
又因为f(x)为奇函数，
所以有f(－x)＝－f(x)，
所以当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，
所以f(x)在(0，1]上的值域为(1，2].
(2)由(1)知当x∈(0，1]时f(x)∈(1，2]，
所以f(x)∈.
令t＝f(x)，则＜t≤1，
令g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1＝＋1－，
①当≤，即λ≤1时，g(t)＞g，无最小值；
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)；
③当＞1，即λ＞2时，g(t)min＝g(1)＝－2，解得λ＝4，
综上所述，λ＝4.
题19．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a＋.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由．
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的最大值．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋＋.
令t＝，由x＜0 可得t＞1，
f(x)＝h(t)＝t2＋t＋1＝＋，
因为h(t)在(1，＋∞)上单调递增，故f(t)＞f(1)＝3，故不存在常数M＞0，使|f(x)|≤M恒成立，
故函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f(x)|≤3恒成立．
故有－3≤f(x)≤3，
即－4－≤a≤2－，
所以≤a≤.
所以a的最大值为函数y＝2·2x－的最小值，因为函数y＝2·2x－在[0，＋∞)上是增函数，所以ymin＝2×20－＝2－1＝1，故a的最大值为1.
【综合突破拔高】
题20．函数y＝2－|x|的大致图象是(　　)
【解析】选C.当x>0时，y＝，单调递减，故只有C项符合题意．
题21．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有(　　)
A．00 B．0C．a>1，b<0 D．a>1，b>0
【解析】选D.由指数函数y＝ax图象的性质知函数y＝ax的图象过第一、二象限，且恒过(0，1)，而函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象是由y＝ax的图象向下平移(b＋1)个单位长度得到的，如图所示，故若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象过第一、三、四象限，则a>1，b＋1>1，即a>1，b>0.
题22．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－1－3的图象必经过定点(　　)
A．(1，－2) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(0，0)
【解析】选A.由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令x－1＝0可得x＝1，
此时f(1)＝a0－3＝－2，故函数恒过定点(1，－2).
题23．已知a，b为实数且a>b>0，则下列所给4个不等式中一定成立的序号是(　　)
①<　②2 022a－2 021>2 022b－2 021　③a＋b＋2>2＋2
④＋>
A．②④ B．①③
C．②③④ D．①②③④
【解析】选C.由a>b>0，取a＝2，b＝，可得＝1，＝－2，①错；
由a>b>0可得a－2 021>b－2 021，由指数函数单调性可得2 022a－2 021>2 022b－2 021，②对；由基本不等式可得a＋1≥2，b＋1≥2，又a>b>0，所以等号不同时成立，a＋b＋2>2＋2，③对；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，又a>b>0，所以(a＋b)>4，＋>，④对．
题24．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　)
【思路导引】解决这类问题要对每个选项逐一判断，根据两图象反映出来的信息，判断是否有矛盾，若无矛盾，则正确．
【解析】选A.抛物线的方程是y＝a－，其顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间．
题25．设f(x)＝＋x2，则f>f＋a2＋a的解集为(　　)
A． B．∪
C． D．
【解析】选B.f(x)＝＋x2的定义域为R.
因为f＝＋2＝＋a2＋2a＋1，f＝＋2＝＋＋a＋1，
所以f>f＋a2＋a可化为：>.令g(x)＝，即g>g.
下面判断g(x)＝的单调性和奇偶性．
因为g＝＝＝－g(x)，
所以g(x)＝为奇函数；
而g(x)＝＝＝1－，因为y＝2 021x在R上为增函数，所以g(x)在R上单调递增．所以g>g可化为：>＋1，即a＋1>＋1或a＋1<－，解得a>0或a<－.所以原不等式的解集为∪.
题26 (多选题)．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
D．f＜
【解析】选ACD.f(x)＝2－x，f(x1＋x2)＝2，
f(x1)f(x2)＝2·2＝2，故A对；
f(x1·x2)＝2≠2＋2＝f(x1)＋f(x2)，故B错；
因为f(x)＝2－x＝为减函数，所以当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，同理当x1f＝，＝，由基本不等式，
所以f＜，故D对．
题27(多选题)．若函数f(x)＝， 则该函数在(－∞，＋∞)上是 (　　)
A．单调递减 B．无最小值
C．单调递增 D．有最大值
【解析】选AB.设t＝2x＋1，则当x∈(－∞，＋∞)时为增函数，且t>1；
于是y＝＝(t>1)为减函数，其图象如图所示：
故y＝为减函数且y<1；图象在x轴上方，y>0，所以原函数既无最小值，也无最大值．
题28(多选题)．若函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)，在[0，1]上的最大值比最小值大，则a等于(　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
【解析】选AB.当a＞1时，如图，f(x)在[0，1]上递增，
此时最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝，解得a＝0(舍)，a＝；
当0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上递减，此时最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝，
解得a＝0(舍)，a＝，综上，a＝或.
题29(多选题)．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，可能成立的是(　 )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．a>0，b>0，c>0 D．2a＋2c<2
【解析】选BD.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图．
结合图象及已知条件知，a<0，c>0，b在a，c之间，可能大于0可能小于0，所以B可能成立．
由f(a)>f(c)，得|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2.
题30(多选题)．下列说法正确的是 (　 　)
A．函数f(x)＝在定义域上是减函数 B．函数f(x)＝2x－x2有且只有两个零点
C．函数y＝2|x|的最小值是1 D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
【解析】选CD.对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数f(x)＝2x－x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，因为|x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，命题正确．
题31．函数的单调递减区间为________，值域是________．
【解析】(1)－x2＋4x－3≥0，解得函数的定义域为[1，3]，
设t＝，对称轴为x＝－＝2，
得出t＝在(1，2)上递增，(2，3)上递减；
又因为y＝2t恒单调递增，所以根据复合函数单调性同增异减，可得在(1，2)上递增，(2，3)上递减；
(2)由(1)得x∈[1，3]，所以－x2＋4x－3∈[0，1]，∈[0，1]，y＝2∈[1，2]，即函数y＝2的值域为[1，2].
答案：(2，3)　[1，2]
题32．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝________．
【解析】因为f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(a)＝2a＋＝5，
所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋2＝2－2＝23.
答案：23
题33．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域和单调递减区间．
【解析】
如图所示，画出分段函数的图象，当x<－1时，函数单调递增，－11时，函数单调递增，最小值为0，所以可得：f(x)的值域是，单调递减区间是.
题34．已知函数f(x)＝m·4x－2x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，求实数m的取值范围．
【解析】由题意可得m·4－2＝m·4－2有解，即m(4－4)＝(2－2)有解，
可得＝2＋2≥2①，解得0＜m≤，
再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，
故0＜m＜，
所以实数m的取值范围是.
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