(共39张PPT)
第五章
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景.
2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
课标要求
素养要求
根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.平均变化率
对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝____________.
(2)函数值的改变量：Δy＝______________.
x2－x1
f(x2)－f(x1)
2.导数的概念
1.思考辨析，判断正误
×
(1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.( )
提示 导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )
√
√
2.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A.2.1 B.1.1
C.2 D.0
A
C
4.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；
④0.01.
解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
思维升华
【训练1】 函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx>0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A.k1>k2 B.k1
C.k1＝k2 D.k1与k2的大小关系不确定
解析 ∵函数y＝f(x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为
Δy1＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－ ＝Δx(2x0＋Δx)，
∵函数y＝f(x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy2＝f(x0)－f(x0－Δx)＝ －(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，
∵k1－k2＝2Δx，而Δx>0，∴k1>k2.
A
题型二 导数定义的直接应用
思维升华
【例3】 已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
题型三 导数概念的应用
思维升华
C
B
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
B
A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b
C
D
C
C
二、填空题
(Δx)2＋6Δx＋12
7.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.
9
得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.
-1
三、解答题
9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
(2)∵Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，
AD
解析 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.
12.过曲线y＝x2＋1上两点P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
2.1
2.001
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴割线斜率为2＋Δx.
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，
割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
13.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解 山路从A到B高度的平均变化率为
山路从B到C高度的平均变化率为
∵hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多.
2
本节内容结束(共44张PPT)
第五章
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
课标要求
素养要求
根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展数学抽象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在__________的速度称为瞬时速度.
某一时刻
2.曲线的切线斜率
斜率
切线
1.思考辨析，判断正误
(1)平均变化率与瞬时变化率可能相等.( )
(2)在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0).( )
提示 也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).
(3)瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.( )
提示 瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.
(4)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.( )
√
×
×
√
2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
3.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为( )
A.2 B.3
C.－2 D.－3
D
4.抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________.
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求物体运动的平均速度
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
思维升华
A
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
题型二 求瞬时速度
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
【迁移1】 若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∴ (1＋Δt)＝1.即物体的初速度为1 m/s.
【迁移2】 若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
思维升华
【训练2】 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均速度为
【例3】 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
可得切线的斜率为k＝ Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
求抛物线在某点处的切线方程的步骤
思维升华
【训练3】 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为( )
A.4 B.16 C.8 D.2
C
C
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
A
B
B
故切线的倾斜角为45°.
二、填空题
6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________.
3
7.抛物线f(x)＝x2－4x在(－1，5)处的切线方程为_____________.
6x＋y＋1＝0
所以切线方程为y－5＝－6(x＋1)，即6x＋y＋1＝0.
8.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
1
三、解答题
9.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
解 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点.
(3)倾斜角为135°.
解 因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，
11.(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
ABC
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反，即B正确.
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.即C正确.
1
12.一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________.
7＋2Δt
7
解 ∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.
(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解 (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
t3
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第五章
第二课时 导数的几何意义
通过函数图象直观理解导数的几何意义.
课标要求
素养要求
通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.切线的概念
在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.
2.导数的几何意义
点睛
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0).此时曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).如果切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0).
(2)若函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，表明曲线在该点处有切线，且切线与x轴垂直或曲线在该点处无切线.
3.导函数
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在.( )
提示 若f′(x0)＝0，则切线斜率为0，其切线存在，与x轴平行或重合.
(2)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.( )
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.( )
(4)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.( )
提示 也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.
√
√
×
2.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0
C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在
解析 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.
B
A
所以2a＝2，所以a＝1.
3
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求切线方程
【例1】 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
解 将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1).
＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程.
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
即3x－4y＋1＝0.
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)是切点，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).
(2)若点(x0，y0)不是切点，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
思维升华
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
【例2】 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.
题型二 求切点坐标或参数值
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
±2
因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).
因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
思维升华
【训练2】 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
【例3】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)B
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
A
解析 函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.
思维升华
A.f′(1)C.f′(2)B
1.1个思想
以直代曲：“以直代曲”在微积分中是最基本、最朴素的思想方法，在新的课程标准中也被提到了一定的高度.作为一种基本的数学方法，其本质是转化与化归，与极限思想有关.
2.1个注意点
利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点是切点，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不是切点，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
D
2.若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则( )
A.f′(1)>0 B.f′(1)＝0
C.f′(1)<0 D.f′(1)不存在
A
3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A
A.f′(a)B.f′(b)C.f′(a)D.f′(c)解析 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k14.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
D
5.(多选题)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A.y＝0 B.x＝0
C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0
AD
把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0；
当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，
整理得27x－y－54＝0.
二、填空题
2
7.已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
2
－3
所以m＝2.
又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3.
8.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________.
所以点P处的切线的斜率等于4.
即12x－3y－16＝0.
10.在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线
4x－y＋1＝0，则k＝2x0＝4，解得x0＝2.
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
11.(多选题)下列说法正确的是( )
AC
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
5
3
13.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
解 设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)
∵斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
D
本节内容结束