6.3对数函数 第2课时 对数函数及其性质的应用 讲义（含答案）

编号：036 课题:§6.3.2 对数函数及其性质的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解对数函数的概念；
2.进一步掌握对数函数的图象和性质；
3.会解有关对数函数的值域与最值问题；
4.解决对数函数性质的综合应用问题．
本节重点难点
重点：对数函数的值域与最值问题；
难点：对数函数性质的综合应用问题．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.对数函数
一般地,函数叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞).
【思考】
对数函数解析式有什么特征
提示:①a>0,且a≠1;②的系数为1;③自变量x的系数为1.
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域: ___________
值域: ___________
a>1 0性质 图象过点__________
在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0 在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y<0
(1)对数函数单调性的记忆口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数要求大于0,但等于1却不行;
底数若是大于1,图象从左往右增;
底数0到1之间,图象从左往右减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
(2)底数对函数图象的影响
对数函数的图象如图所示,可得如下规律:
(ⅰ)与的图象关于x轴对称.
(ⅱ)函数的底数a的变化对图象的影响:
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.
②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越
大.
【思考】
对于对数函数,为什么一定过点
3.反函数的定义
(1)定义
一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一x=φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数,记作.
(2)函数与其反函数性质之间的关系
①图象:关于直线y=x对称;
②定义域与值域:原函数的定义域为其反函数的值域,值域为其反函数的定义域;
③单调性:互为反函数的单调性相同.
【思考】
函数f(x)=x2有反函数吗 为什么
【课前小题演练】
题1．下列函数在定义域上是增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝logx
C．y＝ D．y＝x3
题2．已知a＝21.1，b＝log23，c＝3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
题3．函数f(x)＝2＋log6(6x＋1)，x∈R的值域为(　　)
A．(0，1]　　 B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞)　　 D．(2，＋∞)
题4．函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
题5．函数f(x)＝2－ln ＋4(x∈)的值域为(　　)
A． B．
C． D．
题6．设函数f(x)＝log2＋，则关于x的不等式f>f的解集是(　　)
A．
B．∪
C．∪
D．
题7(多选题)．已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0，10)上单调递增
D．f(x)在(0，10)上单调递减
题8(多选题)．已知正实数x，y满足log2x＋logy<－，则下列结论正确的是(　　)
A．<　　　　　　　　　B．x3＜y3
C．ln (y－x＋1)＞0 D．2x－y＜
题9．已知函数f(x)＝，在R上存在最小值，则m的取值范围是________．
题10．若函数f(x)的定义域为，则函数y＝f(2x)·ln (x＋1)的定义域为________．
题11．已知函数f(x)＝loga(－x2＋ax－9)(a>0，a≠1).
(1)当a＝10时，求f(x)的值域和单调递减区间；
(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【课堂检测达标】
题12．已知a＜b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝logb(x＋a)的图象可能是(　　)
题13．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且ln a＝a－1，b ln b＝1，cec＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．c题14(多选题)．已知函数f(x)＝loga＋2(a>0且a≠1)的图象过定点，正数m，n满足m＋n＝s＋t，则(　　)
A．m＋n＝4 B．m2＋n2≥8
C．mn≥4 D．＋≥1
题15(多选题)．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　)
A．其图象关于y轴对称
B．f(x)的最小值是lg 2
C．当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
D．f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞)
题16．已知函数f(x)＝log2.
(1)若f(x)在上单调递减，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是________．
题17．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
题18．设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值．
题19．已知函数f(x)＝2x的反函数为f－1(x).
(1)若f－1(x)－f－1(1－x)＝1，求实数x的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋f(1－x)－m＝0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围．
【综合突破拔高】
题20．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为(　　)
A．－2　 B．－3　 C．－4　 D．0
题21．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
题22．使log2A． B．
C． D．
题23．若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B． C． D．
题24．设函数f(x)＝ln －ln ，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，且在(1，＋∞)单调递增
B．f(x)是奇函数，且在(－1，1)单调递减
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，－1)单调递增
D．f(x)是奇函数，且在(－∞，－1)单调递减
题25．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(0，2)　　 D．(2，＋∞)
题26(多选题)．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
题27(多选题)．已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　)
题28(多选题)．函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是 (　 　)
A．f(x2)＝2f(x) B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
题29(多选题)．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是 (　 　)
A．函数f(|x|)为偶函数 B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数 D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)|
题30(多选题)．已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　 　)
A．01
C．f(a＋2 019)>f(2 020) D．f(a＋2 019)题31．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)，在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
题32．已知函数对任意两个不相等的实数x1，x2∈，都满足不等式>0，求实数a的取值范围．
题33．已知函数.
(1)若f(x)在(－∞，2]上单调递增，求m的取值范围．
(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围．
编号：036 课题:§6.3.2 对数函数及其性质的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解对数函数的概念；
2.进一步掌握对数函数的图象和性质；
3.会解有关对数函数的值域与最值问题；
4.解决对数函数性质的综合应用问题．
本节重点难点
重点：对数函数的值域与最值问题；
难点：对数函数性质的综合应用问题．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.对数函数
一般地,函数叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞).
【思考】
对数函数解析式有什么特征
提示:①a>0,且a≠1;②的系数为1;③自变量x的系数为1.
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域: ___(0,+∞)_____
值域: ________
a>1 0性质 图象过点___(1,0)____
在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0 在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y<0
(1)对数函数单调性的记忆口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数要求大于0,但等于1却不行;
底数若是大于1,图象从左往右增;
底数0到1之间,图象从左往右减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
(2)底数对函数图象的影响
对数函数的图象如图所示,可得如下规律:
(ⅰ)与的图象关于x轴对称.
(ⅱ)函数的底数a的变化对图象的影响:
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.
②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越
大.
【思考】
对于对数函数,为什么一定过点
提示:当x=1时,恒成立,即对数函数的图象一定过点.
3.反函数的定义
(1)定义
一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一x=φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数,记作.
(2)函数与其反函数性质之间的关系
①图象:关于直线y=x对称;
②定义域与值域:原函数的定义域为其反函数的值域,值域为其反函数的定义域;
③单调性:互为反函数的单调性相同.
【思考】
函数f(x)=x2有反函数吗 为什么
提示:没有.若令y=f(x)=1,则x=±1,即x值不唯一,不符合反函数的定义.
【课前小题演练】
题1．下列函数在定义域上是增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝logx
C．y＝ D．y＝x3
【解析】选D.y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故舍去；y＝logx在定义域(0，＋∞)上单调递减，故舍去；y＝在定义域R上单调递减，故舍去；y＝x3在定义域R上单调递增．
题2．已知a＝21.1，b＝log23，c＝3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
【解析】选A.21.1>2，3＝.又2>log23>log2＝log22＝，所以a>b>c.
题3．函数f(x)＝2＋log6(6x＋1)，x∈R的值域为(　　)
A．(0，1]　　 B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞)　　 D．(2，＋∞)
【解析】选D.因为6x＋1>1，所以log6(6x＋1)>0，
故f(x)＝2＋log6(6x＋1)>2.
题4．函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.因为y＝log (x2－3x＋2)，
所以x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2，
令t＝x2－3x＋2，因为t＝x2－3x＋2的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以内层函数t＝x2－3x＋2在(2，＋∞)上单调递增，外层函数y＝logt是减函数，
所以由复合函数单调性的性质可知函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞).
题5．函数f(x)＝2－ln ＋4(x∈)的值域为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.令t＝ln x，由x∈，可得t∈，则y＝t2－2t＋4＝2＋3，t∈，
所以函数y＝t2－2t＋4在上单调递减，在上单调递增，所以当t＝1时，函数y＝t2－2t＋4，取得最小值3；而当t＝0时，y＝2＋3＝4，当t＝3时，y＝2＋3＝7，7>4，函数y＝t2－2t＋4取得最大值是7，所以函数f(x)＝2－ln ＋4(x∈)的值域是.
题6．设函数f(x)＝log2＋，则关于x的不等式f>f的解集是(　　)
A．
B．∪
C．∪
D．
【解析】选C.函数定义域是1－x2>0，即x∈(－1，1)，f(－x)＝log2＋＝log2(1－x2)＋x|＝f(x)，函数为偶函数，又x>0时，f(x)＝log2(1－x2)＋x，其中y＝log2(1－x2)在[0，1)上递减，y＝x在[0，1)上也递减，因此f(x)在[0，1)上递减，不等式f>f(3x－1)化为f>f，
所以，解得0题7(多选题)．已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0，10)上单调递增
D．f(x)在(0，10)上单调递减
【解析】选BD.由得x∈(－10，10)，
故函数f(x)的定义域为(－10，10)，关于原点对称，又由f(－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，
而f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，
y＝100－x2在(0，10)上递减，y＝lg x在(0，10)上递增，故函数f(x)在(0，10)上递减．
题8(多选题)．已知正实数x，y满足log2x＋logy<－，则下列结论正确的是(　　)
A．<　　　　　　　　　B．x3＜y3
C．ln (y－x＋1)＞0 D．2x－y＜
【解析】选BC.因为正实数x，y满足log2x＋logy<－.
所以log2<－.
当x＞y时，＞1，log2＞0，而＜，所以－＜0，
故log2<－ 不可能成立．
当x＝y时，log2＜－，不可能成立．
故x＜y，所以＞，x3＜y3，故A不正确，B正确；
所以y－x＞0，y－x＋1＞1，ln (y－x＋1)＞0，故C正确；2x－y＜20＝1，故D不正确．
题9．已知函数f(x)＝，在R上存在最小值，则m的取值范围是________．
【解析】当x≤1时，f(x)＝log2(－x＋5)在(－∞，1]上单调递减，在(－∞，1]上存在最小值f(1)＝2，当x>1时，f(x)＝2x－m在(1，＋∞)上单调递增，若f(x)在R上存在最小值，则只需满足log2(－1＋5)≤21－m，所以m≤0.
答案：(－∞，0]
题10．若函数f(x)的定义域为，则函数y＝f(2x)·ln (x＋1)的定义域为________．
【解析】由题意可得所以－1答案：(－1，1]
题11．已知函数f(x)＝loga(－x2＋ax－9)(a>0，a≠1).
(1)当a＝10时，求f(x)的值域和单调递减区间；
(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝10时，f(x)＝log10(－x2＋10x－9)＝log10[－(x－5)2＋16]，设t＝－x2＋10x－9＝－(x－5)2＋16，由－x2＋10x－9>0，得x2－10x＋9<0，得1则y＝log10t≤log1016，即函数的值域为(－∞，lg 16]，要求f(x)的单调递减区间，等价为求t＝－(x－5)2＋16的单调递减区间，
因为t＝－(x－5)2＋16的单调递减区间为[5，9)，所以f(x)的单调递减区间为[5，9).
(2)若f(x)存在单调递增区间，只需－x2＋ax－9>0有解，所以判别式Δ＝a2－36>0，得a>6或a<－6，又a>0，a≠1，所以a>6，综上实数a的取值范围是a>6.
【课堂检测达标】
题12．已知a＜b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝logb(x＋a)的图象可能是(　　)
【解析】选B.由题图可知0＜a＜1＜b，故函数g(x)单调递增，排除A，D，结合a的范围可知选B.
题13．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且ln a＝a－1，b ln b＝1，cec＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．c【解析】选C.ln a＝a－1，ln b＝，ec＝.依次作出y＝ex，y＝ln x，y＝x－1，y＝在(0，＋∞)上的图象，如图所示．
由图象可知01，所以c题14(多选题)．已知函数f(x)＝loga＋2(a>0且a≠1)的图象过定点，正数m，n满足m＋n＝s＋t，则(　　)
A．m＋n＝4 B．m2＋n2≥8
C．mn≥4 D．＋≥1
【解析】选ABD.在函数f(x)的解析式中，令x－1＝1可得x＝2，且f＝loga1＋2＝2，
所以函数f(x)的图象过定点，s＝t＝2，所以m＋n＝4，所以A正确；
由m2＋n2≥2mn，可得2≥2＝16，故m2＋n2≥8，
当且仅当m＝n＝2时取等号，所以B正确；由基本不等式可得，mn≤2＝4，当且仅当m＝n＝2时取等号，故C错误；又＋＝
＝≥＝1，
当且仅当即m＝n＝2时取等号，所以D正确．
题15(多选题)．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　)
A．其图象关于y轴对称
B．f(x)的最小值是lg 2
C．当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
D．f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞)
【解析】选ABD.f(－x)＝lg ＝f(x)，f(x)是偶函数，选项A正确；令t＝＝|x|＋≥2，y＝lg t在(0，＋∞)上是增函数，y＝lg t≥lg 2，所以f(x)的最小值为lg 2，选项B正确；当x>0时，t＝＝x＋，根据对勾函数的图象可得，t＝x＋单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，y＝lg t在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项C错误；根据偶函数的对称性，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞)，选项D正确．
题16．已知函数f(x)＝log2.
(1)若f(x)在上单调递减，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是________．
【解析】(1)令u＝ax2－ax＋4，y＝log2u.当a＝0时，f(x)＝log24＝2，该函数为常值函数，不合题意．所以a≠0，内层函数u＝ax2－ax＋4的对称轴为直线x＝，
由于函数f(x)在上单调递减，且外层函数y＝log2u为增函数，
故内层函数u＝ax2－ax＋4在上为减函数，且对任意的x∈，u>0恒成立，
所以解得－2≤a<0；
(2)因为函数f(x)的值域是R，则为二次函数u＝ax2－ax＋4值域的子集．
当a＝0时，内层函数为u＝4，不合题意；
当a≠0时，则有，解得a≥16.
综上所述，实数a的取值范围是.
答案：(1)　(2)
题17．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
【解析】作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知
f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1，2]
题18．设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值．
【解析】(1)由题意，f(0)＝loga3＋loga3＝2loga3＝2，所以a＝3，
所以f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)，
所以解得－3＜x＜3，
所以f(x)的定义域是(－3，3).
(2)因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)
＝log3[(3＋x)(3－x)]
＝log3(9－x2)，且x∈(－3，3)，
所以当x＝时，f(x)在区间[0，]上取得最小值，f(x)min＝log33＝1.
题19．已知函数f(x)＝2x的反函数为f－1(x).
(1)若f－1(x)－f－1(1－x)＝1，求实数x的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋f(1－x)－m＝0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由题意可得：f－1(x)＝log2x，
所以log2x－log2(1－x)＝1 log2＝log22，
所以＝2 x＝.
(2)由f(x)＋f(1－x)－m＝0可得：m＝2x＋，
令t＝2x∈[2，4]，所以m＝t＋，
所以当t∈[2，4]时，函数m＝t＋为增函数，
所以函数的最小值为3，最大值为，所以实数m的取值范围为.
【综合突破拔高】
题20．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为(　　)
A．－2　 B．－3　 C．－4　 D．0
【解析】选A.因为≤x≤9，所以log3≤log3x≤log39，即－4≤log3x≤2，所以－2≤2＋log3x≤4.所以当x＝时，f(x)min＝－2.
题21．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
【解析】选D.y＝loga的图象过点，排除A，C.y＝＝与y＝loga的单调性相异，可排除B.
题22．使log2A． B．
C． D．
【解析】选A.
由对数函数y＝log2得－x>0即x<0，根据y＝log2和y＝x＋1的图象，且log2－1，则满足条件的x∈.
题23．若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B． C． D．
【解析】选C.设g(x)＝x2－ax＋1，
则要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得：满足即得a≤，即实数a的取值范围是.
题24．设函数f(x)＝ln －ln ，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，且在(1，＋∞)单调递增
B．f(x)是奇函数，且在(－1，1)单调递减
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，－1)单调递增
D．f(x)是奇函数，且在(－∞，－1)单调递减
【解析】选D.由f(x)＝ln －ln 得，f(x)定义域为，关于坐标原点对称，
又f＝ln －ln ＝ln －ln ＝－f(x)，所以f(x)为定义域上的奇函数，可排除A，C；当x∈时，f(x)＝ln －ln ，因为y＝ln 在上单调递增，y＝ln 在上单调递减，所以f(x)＝ln －ln 在上单调递增，排除B；
当x∈时，f(x)＝ln －ln ＝ln ＝
ln ，因为t＝1＋在上单调递减，f＝ln t在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：f(x)在上单调递减，故选项D正确．
题25．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(0，2)　　 D．(2，＋∞)
【解析】选B.因为f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，所以f(0)＞f(1)，即loga2＞loga(2－a)，所以所以1＜a＜2.
题26(多选题)．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
【解析】选ABC.A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；
B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；
C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，
即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
题27(多选题)．已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　)
【解析】选AB.因为a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，所以b＝，
g(x)＝－logx＝－logax，
当a>1时，B符合；当0题28(多选题)．函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是 (　 　)
A．f(x2)＝2f(x) B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
【解析】选ABC.由题意，f(x)＝logax，所以f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(2)＋f(x)，
f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，故D是错误的．
题29(多选题)．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是 (　 　)
A．函数f(|x|)为偶函数 B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数 D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)|
【解析】选AB.
f(x)＝logx，x＞0.函数f(|x|)＝log|x|，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；
若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，因为a≠b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，
所以loga＋logb＝log(ab)＝0，所以ab＝1.因此B正确．函数f(－x2＋2x)＝log(－x2＋2x)
由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；
若0＜a＜1，所以1＋a＞1－a，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝
－f(1＋a)－f(1－a)＝－log(1－a2)＜0，即|f(1＋a)|＜|f(1－a)|，因此D不正确．
题30(多选题)．已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　 　)
A．01
C．f(a＋2 019)>f(2 020) D．f(a＋2 019)【解析】选AC.由函数f(x)＝loga|x－1|，可知函数关于x＝1对称，且f(x)在(－∞，1)上单调递增，易得0f(2 020).
题31．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)，在区间内恒有
f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
【解析】令y＝2x2＋x，x∈，则y∈，因为f(x)>0，所以0令2x2＋x>0，解得x<－或x>0，因为y＝2x2＋x在上是减函数，所以f(x)的单调递增区间为.
答案：
题32．已知函数对任意两个不相等的实数x1，x2∈，都满足不等式>0，求实数a的取值范围．
【解析】由不等式>0可知，f(x)＝log在x∈上单调递增，
又因为y＝logu在x∈上单调递减，则u＝x2－ax－a在上单调递减，且u＝x2－ax－a>0在上恒成立，所以，解得－1≤a≤.所以a的取值范围为.
题33．已知函数.
(1)若f(x)在(－∞，2]上单调递增，求m的取值范围．
(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围．
【解析】因为.
令，t＝mx2－2x＋3，
(1)由于f(x)在(－∞，2]上单调递增，
所以t＝mx2－2x＋3在(－∞，2]上单调递减，
且t＝mx2－2x＋3＞0在(－∞，2]上恒成立，
当m＝0时，不符合题意；当m＞0时，要符合题意，应满足≥2且4m－1＞0，所以＜m≤；当m＜0时，不符合题意；综上，＜m≤.
所以m的取值范围为.
(2)由f(x)的值域为R，则t＝mx2－2x＋3值域为(0，＋∞).
当m＝0时，符合题意；
当m＞0时，要符合题意，应满足Δ≥0即4－12m≥0，所以0＜m≤；当m＜0时，不符合题意．
综上，0≤m≤.
所以m的取值范围为.
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