第六章幂函数、指数函数和对数函数 复习课讲义（含答案）

编号：037 课题:§6 幂函数、指数函数和对数函数复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握幂、指数、对数函数的图象问题；
2.会利用幂、指数、对数函数的性质比较大小；
3.理解并掌握幂、指数、对数函数的性质应用；
4.解决一些抽象函数应用问题．
本节重点难点
重点：幂、指数、对数函数的性质应用；
难点：抽象函数应用问题．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1.常见幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3
图象
定义域 R R R _______ ________
值域 R _______ R ________ _________
奇偶性 ______函数 _____函数 ______函数 _____函数 ________ 函数
解析式 y=x y=x2 y=x3
增区间 _____ _____ _____ 无 ______
减区间 无 _______ 无 _______，_ _________ 无
定点 幂函数的图象均过定点_________
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
2. 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域:________
(2)值域: _________
(3)图象过定点_______,图象在x轴上方
a>1 0性质 (4)在(-∞,+∞)上是增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
3. 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域: ____________
值域:______________
a>1 0性质 图象过点___________
在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0 在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y<0
(1)对数函数单调性的记忆口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数要求大于0,但等于1却不行;
底数若是大于1,图象从左往右增;
底数0到1之间,图象从左往右减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
(2)底数对函数图象的影响
对数函数的图象如图所示,可得如下规律:
(ⅰ)与的图象关于x轴对称.
(ⅱ)函数的底数a的变化对图象的影响:
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.
②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越
大.
【课堂题组训练】
题1. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值为(　　)
A．3 B． C．27 D．
题2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为(　　)
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
题3．已知f(x)＝lg (e|x|＋2)，a＝20.3，b＝log32，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)＞f(a)＞f(c)
B．f(c)＞f(a)＞f(b)
C．f(a)＞f(b)＞f(c)
D．f(c)＞f(b)＞f(a)
题4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象不可能为(　　)
题5．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中不可能成立的是(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．b＜a＜0 D．a＝b
题6．下列说法中错误的个数是(　　)
①幂函数的图象不过第四象限；
②y＝x0的图象是一条直线；
③若函数y＝的定义域是，则它的值域是；
④若函数y＝x2的值域是，则它的定义域一定是.
A．1 B．2 C．3 D．4
题7．已知f(x)＝3x－，若f(m)＋f(n)＞0，则(　　)
A．m＋n＞0 B．m＋n＜0
C．m－n＞0 D．m－n＜0
题8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－，0) B．[－，－]
C．[－，0] D．(－∞，0)
题9(多选题)．已知幂函数f(x)的图象经过(27，)，则幂函数f(x)具有的性质是(　　)
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．奇函数
D．定义域为R
题10(多选题)．已知函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，则实数a的可取值是(　　)
A．－1 B．－3 C．0 D．5
题11(多选题)．行列式作为基本的数学工具，有着重要的应用，行列式＝ad－bc，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)＝的值域为[－7，＋∞)
B．不等式≥0的解集为[1，＋∞)
C．行列式＝0是“a＝c＝0或b＝d＝0”的必要不充分条件
D．若f(x)＝为奇函数，则fi(x)(i＝1，2，3，4)均为奇函数
题12(多选题)．已知函数f(x)＝，g(x)＝lg (－x)，则(　　)
A．函数f(x)为偶函数
B．函数g(x)为奇函数
C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0
D．设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)
题13(多选题)．设f(x)＝，x∈R，则f(x)是 (　 　)
A．奇函数且在(－∞，0)上是增函数 B．偶函数且在(－∞，0)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
题14(多选题)．若函数f(x)＝ex－e2－x，则下列叙述正确的是 (　 　)
A．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 B．f(x)的值域为(0，＋∞)
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
题15(多选题)．已知函数f(x)＝下列结论正确的是 (　 　)
A．若f(a)＝1，则a＝3 B．f＝2 020
C．若f(a)≥2，则a≤－1或a≥5 D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k>
题16．函数y＝＋的定义域为____________．
题17．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________．
题18．f(x)＝x－x，则满足f(x)＞0的x的取值范围为____________．
题19．已知函数y＝()mt－7(m为常数)，当t＝4时，y＝64，若y≤，则实数t的取值范围为__________．
题20．已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求2x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0，对于任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
题21．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log (－x＋1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．
题22．已知函数f(x)＝|log2x|.
(1)若x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：＋＋＋＞3；
(2)解不等式：f(f(x))＞1.
题23．已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).
(1)求x＜0时f(x)的解析式；
(2)在①f(x)在(1，4)上单调递增，②在区间(－1，1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)＝()a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
编号：037 课题:§6 幂函数、指数函数和对数函数复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握幂、指数、对数函数的图象问题；
2.会利用幂、指数、对数函数的性质比较大小；
3.理解并掌握幂、指数、对数函数的性质应用；
4.解决一些抽象函数应用问题．
本节重点难点
重点：幂、指数、对数函数的性质应用；
难点：抽象函数应用问题．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1.常见幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3
图象
定义域 R R R _{x|x≠0}_ __[0,+∞)__
值域 R __[0,+∞)_ R _{y|y≠0}_ __[0,+∞)__
奇偶性 _ 奇__函数 __偶_函数 __奇_函数 _奇__函数 __非奇非偶_ 函数
解析式 y=x y=x2 y=x3
增区间 __ __[0,+∞)_ __ 无 __[0,+∞)__
减区间 无 __(-∞,0)__ 无 __(-∞,0)，_ __(0,+∞)__ 无
定点 幂函数的图象均过定点__(1,1)_
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
2. 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域:_ _
(2)值域: ___ __
(3)图象过定点__ __,图象在x轴上方
a>1 0性质 (4)在(-∞,+∞)上是增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
3. 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域: ___(0,+∞)_____
值域: ________
a>1 0性质 图象过点___(1,0)____
在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0 在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y<0
(1)对数函数单调性的记忆口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数要求大于0,但等于1却不行;
底数若是大于1,图象从左往右增;
底数0到1之间,图象从左往右减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
(2)底数对函数图象的影响
对数函数的图象如图所示,可得如下规律:
(ⅰ)与的图象关于x轴对称.
(ⅱ)函数的底数a的变化对图象的影响:
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.
②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越
大.
【课堂题组训练】
题1. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值为(　　)
A．3 B． C．27 D．
【解析】选D.因为幂函数y＝xα的图象经过点(－2，－)，所以(－2)α＝－，所以α＝－3.
又因为f(x)＝27，所以x－3＝27，所以x＝.
题2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为(　　)
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【解析】选D.由log2x＝log3y＝log5z＞1，
得1－log2x＝1－log3y＝1－log5z＜0，即
log2＝log3＝log5＜0，
可得＜＜.
题3．已知f(x)＝lg (e|x|＋2)，a＝20.3，b＝log32，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)＞f(a)＞f(c)
B．f(c)＞f(a)＞f(b)
C．f(a)＞f(b)＞f(c)
D．f(c)＞f(b)＞f(a)
【解析】选B.f(－x)＝lg (e|－x|＋2)＝lg (e|x|＋2)＝f(x)，f(x)是偶函数，
x≥0时f(x)＝lg (ex＋2)是增函数，1＜20.3＜2，0＜log32＜1，log2＝－2，f(log2)＝f(－2)＝f(2)，
而log32＜20.3＜2，所以f(log32)＜f(20.3)＜f(2)，即f(b)＜f(a)＜f(c).
题4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象不可能为(　　)
【解析】选B.当a＝－1时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为，且在(0，
＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1开口向下，对称轴为x＝－＞0，
f(0)＝1，故A符合，B不符合；
当a＝2n(n∈N＋)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝－＜0，Δ＝4－4a＜0，其图象和x轴没有交点，故D符合；
当a＝(n∈N＋)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上且对称轴为x＝－＜0，Δ＝4－4a＞0，图象和x轴有两个交点，故C符合．
题5．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中不可能成立的是(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．b＜a＜0 D．a＝b
【解析】选C.作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，当2a＝3b＞1时根据图象得0＜b＜a，故A选项正确，不符合题意；
当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确，不符合题意；
当2a＝3b＜1时根据图象得a＜b＜0，故B选项正确，不符合题意；故不可能成立的是b＜a＜0.
题6．下列说法中错误的个数是(　　)
①幂函数的图象不过第四象限；
②y＝x0的图象是一条直线；
③若函数y＝的定义域是，则它的值域是；
④若函数y＝x2的值域是，则它的定义域一定是.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.由幂函数的图象与性质知①正确；
y＝x0的图象是直线y＝1上去掉点(0，1)，②错误；
函数y＝的定义域是，则它的值域是，③错误；
若函数y＝x2的值域是，则它的定义域也可能是，④错误．
题7．已知f(x)＝3x－，若f(m)＋f(n)＞0，则(　　)
A．m＋n＞0 B．m＋n＜0
C．m－n＞0 D．m－n＜0
【解析】选A.因为f(x)＝3x－，x∈R，所以f(－x)＝3－x－＝
x－3x＝－f(x)，所以f(x)是定义域为R的奇函数，且是增函数；又f(m)＋f(n)＞0，所以f(m)＞－f(n)＝f(－n)，所以m＞－n，所以m＋n＞0.
题8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－，0) B．[－，－]
C．[－，0] D．(－∞，0)
【解析】选A.因为f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数，所以存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)，所以3＋m－1＝－3－m＋1，
所以2m＝－3－3＋2，构造函数y＝－3－3＋2，x0∈[－1，1]，
令t＝3，t∈[，3]，y＝－－t＋2＝2－(t＋)在[，1]单调递增，
在(1，3]单调递减，所以t＝1取得最大值0，t＝或t＝3取得最小值－，y∈[－，0]，
所以－≤2m＜0，所以－≤m＜0.
题9(多选题)．已知幂函数f(x)的图象经过(27，)，则幂函数f(x)具有的性质是(　　)
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．奇函数
D．定义域为R
【解析】选BC.设幂函数f(x)＝xa，因为幂函数图象过点(27，)，所以27a＝，所以a＝－，所以f(x)＝x＝ (x≠0)，所以f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足f(－x)＝－f(x)，是奇函数，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域内不单调，在上单调递减．
题10(多选题)．已知函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，则实数a的可取值是(　　)
A．－1 B．－3 C．0 D．5
【解析】选AC.令u＝，由题意可知，u＝＞0对任意的x∈(－3，3]恒成立，
因为x＋3＞0，则ax＋6＞0对任意的x∈(－3，3]恒成立，则，得
－2＜a≤2.
因为函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，外层函数y＝log3u为增函数，
故内层函数u＝＝＝a＋在区间(－3，3]上为减函数，
所以6－3a＞0，可得a＜2.综上所述，－2＜a＜2.
题11(多选题)．行列式作为基本的数学工具，有着重要的应用，行列式＝ad－bc，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)＝的值域为[－7，＋∞)
B．不等式≥0的解集为[1，＋∞)
C．行列式＝0是“a＝c＝0或b＝d＝0”的必要不充分条件
D．若f(x)＝为奇函数，则fi(x)(i＝1，2，3，4)均为奇函数
【解析】选ABC.对于A，f(x)＝＝x(x－2)－6＝(x－1)2－7≥－7，故f(x)的值域为[－7，＋∞)，故A正确；
对于B，≥0 2x－1·4x－2×2≥0 23x－1≥22，解得x≥1，故B正确；
对于C，当“a＝c＝0或b＝d＝0”时，可得＝0；而当＝0时，取a＝b＝c＝d＝1，可得“a＝c＝0或b＝d＝0”不成立，故C正确；
对于D，若f(x)＝为奇函数，取fi(x)(i＝1，2，3，4)＝x2，可得f(x)＝0为R上的奇函数，故D错误．
题12(多选题)．已知函数f(x)＝，g(x)＝lg (－x)，则(　　)
A．函数f(x)为偶函数
B．函数g(x)为奇函数
C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0
D．设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)
【解析】选BCD.f(x)＝，定义域为R，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
则f(x)为奇函数，故A错误；
g(x)＝lg (－x)，定义域为R，
g(－x)＝lg (－(－x))
＝－lg (－x)＝－g(x)，
则g(x)为奇函数，故B正确；
对于C：F(x)＝f(x)＋g(x)，f(x)，g(x)都为奇函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)为奇函数，
F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值互为相反数，必有F(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
f(x)＝＝－()＝－1，则f(x)在R上为减函数，
g(x)＝lg (－x)＝lg ，
则g(x)在R上为减函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)在R上为减函数，若F(2a)＋F(－1－a)＜0，即F(2a)＜F(1＋a)，则必有2a＞1＋a，解得a＞1，
即F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)，故D正确．
题13(多选题)．设f(x)＝，x∈R，则f(x)是 (　 　)
A．奇函数且在(－∞，0)上是增函数 B．偶函数且在(－∞，0)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】选BD.依题意，得f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝＝，该指数函数是减函数；当x<0时，f(x)＝＝＝2x，该指数函数是增函数．
题14(多选题)．若函数f(x)＝ex－e2－x，则下列叙述正确的是 (　 　)
A．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 B．f(x)的值域为(0，＋∞)
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
【解析】选AD.对于A，因为y＝ex在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－e2－x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故A正确；对于B，f(0)＝1－e2<0，故B错误；对于C，f(0)＝1－e2，f(2)＝e2－1，f(0)≠f(2)，所以y＝f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误；对于D，因为f(1＋x)＝e1＋x－e1－x，f(1－x)＝e1－x－e1＋x，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝0，则y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故D正确．
题15(多选题)．已知函数f(x)＝下列结论正确的是 (　 　)
A．若f(a)＝1，则a＝3 B．f＝2 020
C．若f(a)≥2，则a≤－1或a≥5 D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k>
【解析】选BC.对于A：由f(a)＝1，
得 或 解得a＝3或a＝0，故A错误；
对于B：f＝log2＝log2＝，因为<0，
所以f＝f()＝＝2 020，故B正确；
对于C：由f(a)≥2，得 或解得a≥5或a≤－1，故C正确；
对于D：作出f(x)的图象，如图所示：
又f(1)＝，结合图象可得f(x)＝k有两个不同的实数根，即y＝f(x)的图象与y＝k的图象有两个交点，所以k≥，故D错误．
题16．函数y＝＋的定义域为____________．
【解析】由题意，，得，
所以－2≤x＜1.
答案：[－2，1)
题17．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________．
【解析】因为125x＝12.5y＝1 000，
所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，
＝－＝log1 000 125－log1 00012.5
＝log1 000＝log1 000 10＝.
答案：
题18．f(x)＝x－x，则满足f(x)＞0的x的取值范围为____________．
【解析】因为f(x)＝x－x＞0，所以x＞x．
在同一坐标系中作出y＝x，y＝x的图象，如图所示：
结合幂函数图象可得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞).
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
题19．已知函数y＝()mt－7(m为常数)，当t＝4时，y＝64，若y≤，则实数t的取值范围为__________．
【解析】将t＝4，y＝64代入y＝()mt－7，
可得64＝()4m－7，解得m＝，所以y＝()．由()≤，得t－7≥1，解得t≥32.故实数t的取值范围是[32，＋∞).
答案：[32，＋∞)
题20．已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求2x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0，对于任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当x＜0时，f(x)＝0≠2，舍去；
当x≥0时，f(x)＝2x－＝2，
即(2x)2－2·2x－1＝0，2x＞0.
解得2x＝1＋.
(2)当t∈[1，2]时，2tf(2t)＋mf(t)≥0，即2t＋m(2t－)≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1).
由t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5].
故m的取值范围是[－5，＋∞).
题21．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log (－x＋1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．
【解析】(1)令x＞0，则－x＜0，
f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，
所以x＞0时，f(x)＝log (x＋1)，
则f(x)＝
(2)因为f(x)＝log (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
因为f(a－1)＜－1＝f(1)，所以|a－1|＞1，解得a＞2或a＜0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
题22．已知函数f(x)＝|log2x|.
(1)若x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：＋＋＋＞3；
(2)解不等式：f(f(x))＞1.
【解析】(1)f(x)＝|log2x|＝作出f(x)＝|log2x|的图象如图所示：
由f(x1)＝f(x2)可得－log2x1＝log2x2，即log2x1＋log2x2＝0，所以log2(x1x2)＝0，可得x1x2＝1且x1≠1，
所以＋＝＋＝1，而＋＝＋x1≥2＝2，当且仅当x1＝1时取等号，而x1≠1，所以＋＞2.
综上：＋＋＋＞3.
(2)令f(x)＝t，由f(t)＞1即f(t)＝|log2t|＞1，可得log2t＞1或log2t＜－1，
所以0＜t＜或t＞2，所以0＜f(x)＜或f(x)＞2，即0＜|log2x|＜或|log2x|＞2，
由0＜|log2x|＜，可得－＜log2x＜且log2x≠0，即log2＜log2x＜＝log2，解得：＜x＜且x≠1，由|log2x|＞2可得log2x＞2＝log24或log2x＜－2＝log2，解得0＜x＜或x＞4，
综上：f(f(x))＞1的解集为(0，)∪(，1)∪(1，)∪(4，＋∞).
题23．已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).
(1)求x＜0时f(x)的解析式；
(2)在①f(x)在(1，4)上单调递增，②在区间(－1，1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)＝()a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝loga(3＋ax).所以当x＜0时，f(x)＝loga(3＋ax).
(2)选条件①：由于f(x)在(1，4)上单调递增，所以a＞1不合题意．
所以解得0＜a≤，
所以g(a)＝()a的取值范围是[，1).
选条件②：当0＜a＜1时，f(0)＝loga3＜0，显然不满足题意；
当a＞1时，因为f(x)与y＝x2都是偶函数，所以只需考虑x∈[0，1)时，f(x)≥x2恒成立即可．
由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0，1)上单调递减，而y＝x2在[0，1)上单调递增，所以y＝f(x)－x2在[0，1)上单调递减．所以
即解得1＜a≤.
所以g(a)＝()a的取值范围是[，).
- 0 -