7.1.1任意角 讲义（含答案）

编号：038 课题:§7.1.1 任意角
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和终边相同的角的集合表示；
3.会表示终边相同的角；
4.理解并掌握象限角及其应用．
本节重点难点
重点：终边相同的角的表示及应用；
难点：象限角及其应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.任意角
(1)角的分类
类型 定义 图示
正 角 一条射线绕其端点, 按________方向旋转 形成的角
负 角 一条射线绕其端点, 按________方向旋转 形成的角
零 角 一条射线没有做任 何旋转
(2)本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3)应用:可以定义任意的旋转角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴_________,建立平面直角坐标系,这样,角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是____________.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
(1)定义:所有与角α终边相同的角,连同角α在内.
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本质:表示成角α与整数个周角的和.
4.轴线角
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____________________________；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：______________________________；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：______________________________；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_______________________________；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_______________________________.
5.象限角
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_______________________________,
②________________________________；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________.
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相
同的角
【课前基础演练】
题1. 下列各组角中，终边相同的角是(　　)
A．－145°，585° B．45°，585°
C．225°，585° D．315°，585°
题2．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
题3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题4．2 021°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
题6．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(如图阴影部分)正确的是(　　)
题7(多选题)．下列与412°角的终边相同的角是(　　)
A．52° B．778°
C．－308°　 D．1 132°
题8(多选题)．在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．160° B．480°
C．－960° D．1 530°
题9．与2 022°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
题10．已知α的终边与120°角的终边相同，则在－360°到180°之间与终边相同的角的集合为________．
题11．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
【课堂检测达标】
题12. 设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(　　)
A．A∩B＝ B．AB
C．BA D．A＝B
题13.终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限或y轴非负半轴上
D．第三、四象限或y轴非正半轴上
题14(多选题)．若α是第一象限角，则下列各角中属于第一象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°＋α D．180°＋α
题15(多选题)．如果角α的终边在第三象限，那么的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题16．(1)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．
(2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
题17．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在第______象限．
题18．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
题19．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【综合突破拔高】
题20．与600°终边相同的角可表示为(　　)
A．220°＋k·360°(k∈Z) B．240°＋k·360°(k∈Z)
C．60°＋k·360°(k∈Z) D．260°＋k·360°(k∈Z)
题21．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C C．A∩C＝B D．(B∪C) C
题22．角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)
A．第四象限 B．第一、二象限
C．第一象限 D．第二、四象限
题23．期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　)
A．360° B．720° C．－360° D．－720°
题24．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则下列各角是集合A∩B的元素的是(　　)
A．－128° B．－36° C．52°　 D．156°
题25．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)中的(　　)
A.③⑦ B．④⑧ C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦
题26(多选题)．下列命题，正确的是(　　)
A．－75°是第四象限角 B．225°是第三象限角
C．475°是第三象限角 D．－310°是第一象限角
题27(多选题)．下列说法错误的是(　　)
A．锐角必是第一象限角
B．小于90°的角是锐角
C．第二象限的角必大于第一象限的角
D．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限的角
题28．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．
题29．已知α为第一象限角，则180°－是第________象限角．
题30．在0°到360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
题31．写出终边在y轴上的角的集合．
编号：038 课题:§7.1.1 任意角
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和终边相同的角的集合表示；
3.会表示终边相同的角；
4.理解并掌握象限角及其应用．
本节重点难点
重点：终边相同的角的表示及应用；
难点：象限角及其应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.任意角
(1)角的分类
类型 定义 图示
正 角 一条射线绕其端点, 按____逆时针___方向旋转 形成的角
负 角 一条射线绕其端点, 按___顺时针____方向旋转 形成的角
零 角 一条射线没有做任 何旋转
(2)本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3)应用:可以定义任意的旋转角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴____正半轴___,建立平面直角坐标系,这样,角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是____第几象限角_____.如果角的终边在坐标
轴上,称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
(1)定义:所有与角α终边相同的角,连同角α在内.
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本质:表示成角α与整数个周角的和.
4.轴线角
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_____.
5.象限角
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相
同的角
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数
个周角,即角α,β终边相同.
【课前基础演练】
题1. 下列各组角中，终边相同的角是(　　)
A．－145°，585° B．45°，585°
C．225°，585° D．315°，585°
【解析】选C.－145°－585°＝－730°＝－360°×2－10°，故A错误；
45°－585°＝－540°＝－360°－180°，故B错误；
225°－585°＝－360°，故C正确；
315°－585°＝－270°，故D错误．
题2．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与角α有相同终边的角为k·360°＋α(k∈Z)，所以α＝－21°时，表示为k·360°－21°(k∈Z).
题3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
题4．2 021°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选C.2 021°＝5×360°＋221°，且180°<221°<270°，所以2 021°是第三象限角．
题5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
【解析】选D.角α与角β的终边关于y轴对称，所以α－＝90°＋360°×k2－β，k1，k2∈Z，α＋β＝90°＋360°×k2＋90°＋360°×k1＝
360°＋180°，k1，k2∈Z，即α＋β＝360°×k＋180°＝(2k＋1)·180°，k∈Z.
题6．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(如图阴影部分)正确的是(　　)
【解析】选C.令k＝0得，45°≤α≤90°，排除B，D，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A.
题7(多选题)．下列与412°角的终边相同的角是(　　)
A．52° B．778°
C．－308°　 D．1 132°
【解析】选ACD.因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z.
当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°；当k＝4时，β＝1 492°.
题8(多选题)．在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．160° B．480°
C．－960° D．1 530°
【解析】选ABC.A中，160°是第二象限角；
B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；
C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
【误区警示】判断角所在的象限时，先在0°～360°内找到与已知角终边相同的角，判断这个角所在的象限，即原角所在的象限．
题9．与2 022°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
【解析】与2 022°角的终边相同的角为2 022°＋k·360°(k∈Z).
当k＝－5时，222°为最小正角；
当k＝－6时，－138°为绝对值最小的角．
答案：222°　－138°
题10．已知α的终边与120°角的终边相同，则在－360°到180°之间与终边相同的角的集合为________．
【解析】因为α＝120°＋k·360°(k∈Z)，所以＝40°＋k·120°(k∈Z).令－360°≤40°＋k·120°≤180°，则－≤k≤(k∈Z)，所以k＝－3，－2，－1，0，1.将它们分别代入40°＋k·120°可得－320°，－200°，－80°，40°，160°.
答案：
题11．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
【解析】(1)在0°到360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，
因此所有与0°角的终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，
而所有与180°角的终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．
于是，终边落在x轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．
(2)在0°到360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
【课堂检测达标】
题12. 设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(　　)
A．A∩B＝ B．AB
C．BA D．A＝B
【解析】选D.α＝45°＋k·180°，k∈Z表示终边在直线y＝x上的角，α＝135°＋k·180°，k∈Z表示终边在直线y＝－x上的角，而β＝45°＋k·90°，k∈Z表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线y＝x，x≥0；y＝－x，x≤0；y＝x，x≤0；y＝－x，x≥0，它们构成直线y＝x，直线y＝－x，故A＝B.
题13.终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限或y轴非负半轴上
D．第三、四象限或y轴非正半轴上
【解析】选C.因为终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，
所以360°＋2k·360°＜θ＜540°＋2k·360°，k∈Z.
(2k＋1)·360°＜θ＜180°＋(2k＋1)·360°，k∈Z.
所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴上．
题14(多选题)．若α是第一象限角，则下列各角中属于第一象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°＋α D．180°＋α
【解析】选AC.若α是第一象限角，则90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，360°＋α位于第一象限，180°＋α位于第三象限．
题15(多选题)．如果角α的终边在第三象限，那么的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选ACD.因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·120°＋60°<分别取k＝0，1，2，3，…，可得的终边分别在第一、第三、第四、第一、…象限，均不过第二象限；
取k＝－1，－2，－3，…时，的终边分别在第四、第三、第一、…象限，均不过第二象限．
题16．(1)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．
(2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
【解析】(1)从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转30°，分针每小时转360°，每分钟转6°，时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即3小时，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°；分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°.
(2)由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.
答案：(1)－100°　－1 200°　(2)－75°
题17．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在第______象限．
【解析】因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以角α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，
所以α－150°的终边在第二象限．
答案：二
题18．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
因为－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，所以3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
题19．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【综合突破拔高】
题20．与600°终边相同的角可表示为(　　)
A．220°＋k·360°(k∈Z) B．240°＋k·360°(k∈Z)
C．60°＋k·360°(k∈Z) D．260°＋k·360°(k∈Z)
【解析】选B.600°角与240°角终边相同，故可表示为240°＋k·360°(k∈Z).
题21．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C C．A∩C＝B D．(B∪C) C
【解析】选D.由已知得B C，所以B∪C＝C，故D正确．
题22．角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)
A．第四象限 B．第一、二象限
C．第一象限 D．第二、四象限
【解析】选D.令k＝0，α＝－60°，在第四象限；
再令k＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在第二象限．
题23．期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　)
A．360° B．720° C．－360° D．－720°
【解析】选D.因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.
题24．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则下列各角是集合A∩B的元素的是(　　)
A．－128° B．－36° C．52°　 D．156°
【解析】选B.由－180°所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
题25．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)中的(　　)
A.③⑦ B．④⑧ C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦
【解析】选A.因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·180°＋90°< 当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<题26(多选题)．下列命题，正确的是(　　)
A．－75°是第四象限角 B．225°是第三象限角
C．475°是第三象限角 D．－310°是第一象限角
【解析】选ABD.因为－90°＜－75°＜0°，所以－75°是第四象限角，正确；因为180°＜225°＜270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°＋90°＜475°＜360°＋180°，所以475°是第二象限角，错误；因为－360°＜－310°＜－270°，所以－310°是第一象限角，正确．
题27(多选题)．下列说法错误的是(　　)
A．锐角必是第一象限角
B．小于90°的角是锐角
C．第二象限的角必大于第一象限的角
D．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限的角
【解析】选BCD.A.锐角α的范围为0°＜α＜90°，必是第一象限角，正确；
B．小于90°的角是锐角错误，如负角；
C．第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；D.若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故D错误．
题28．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．
【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
答案：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
题29．已知α为第一象限角，则180°－是第________象限角．
【解析】因为α为第一象限角，
所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以－45°－k·180°＜－＜－k·180°，k∈Z，
所以135°－k·180°＜180°－＜180°－k·180°，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，135°－n·360°＜180°－＜180°－n·360°，为第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，－45°－n·360°＜180°－＜－n·360°，为第四象限角；
所以180°－是第二或第四象限角．
答案：二或四
题30．在0°到360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°到360°范围内，与－950°12′终边相同的角是129°48′.所以它是第二象限角．
题31．写出终边在y轴上的角的集合．
【解析】在0°到360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(如图).
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．
于是，终边在y轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
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