7.1.2弧度制 讲义（含答案）

编号：039 课题:§7.1.2 弧度制
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制与弧度制的换算；
3.会利用弧度制表示角；
4.会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题．
本节重点难点
重点：弧度制表示角；
难点：扇形的弧长公式及面积公式．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:长度等于______________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度记作1 rad.
③角的弧度数由角的大小唯一确定,而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关.
④用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么,|α|=________.
(3)本质:角的两种不同的度量模式,适用情况不同,而且弧度是表示角的默认单
位.
(4)应用:角度制更容易理解和运算,与小学、初中知识更容易衔接;弧度制表示
角应用更广泛,与实数一一对应.
【思考】
初中学习的角度制是怎样定义的 1°角是多少
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=______ rad 2π rad=_________
180°=_______ rad π rad= _________
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×=度数
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么
3.轴线角的弧度制表示
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：___________________________；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：___________________________；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：___________________________；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：___________________________；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：___________________________.
4.象限角的弧度制表示
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________.
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=__________.
(2)扇形面积公式:S=__________=__________.
【思考】
初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么
【课前基础演练】
题1．2 145°转化为弧度为(　　)
A． B． C． D．
题2．下列各式不正确的是(　　)
A．－210°＝－　 B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
题3．终边在第一、四象限的角的集合可表示为(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
题4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是(　　)
A．－4π－　 B．－4π＋
C．－6π－ D．－6π＋
题5．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
题6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　　)
A． 　 B． C．　 D．
题7(多选题)．下列角中与－终边不相同的是(　　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
题8(多选题)．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数可以为(　　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
题9．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km每小时的速度通过，10 s间转过________弧度．
题11．已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，求这个圆心角所对的弓形面积．
【课堂检测达标】
题12. 在直角坐标系xOy中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点P0为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每5 s转一圈，则2 s后P0P的长为(　　)
A．2sin B．2cos
C．4sin D．4cos
题13．勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为2，则勒洛三角形的面积为(　　)
A.2π－2 B．2π＋
C．＋ D．4π
题14(多选题)．下列转化结果正确的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
题15(多选题)．下列说法正确的是(　　)
A．第二象限角大于第一象限角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
D．锐角一定是第一象限角
题16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______．
题17．中国扇有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________．
题18．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积).
题19．某学校新校区拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ.
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．
【综合突破拔高】
题20．675°用弧度制表示为(　　)
A．π B．π C．π D．π
题21．－转化为角度是(　　)
A．－300° B．－600° C．－900° D．－1 200°
题22．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题23．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)
A.
B．
C．
D．(k∈Z)
题24．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
题25．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为(　　)
A．5－ B．＋ C． D．5＋
题26(多选题)．下列转化结果正确的是(　　)
A．67°30′化成弧度是 rad B．π化成度是405°
C．－150°化成弧度是 rad D．化成度是15°
题27(多选题)．下列与的终边相同的角的表达式中，不正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
题28(多选题)．若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与终边相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
题29(多选题)．与角π终边不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
题30．如果一个扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的__________倍．
题31. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为60米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为____________米．
题32．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
题33．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．
(1)当圆心角∠AOB为π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
(2)已知如图该扇形圆心角∠AOB是α，半径为r，若该扇形周长是一定值c.当α为多少弧度时，该扇形面积最大？
编号：039 课题:§7.1.2 弧度制
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制与弧度制的换算；
3.会利用弧度制表示角；
4.会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题．
本节重点难点
重点：弧度制表示角；
难点：扇形的弧长公式及面积公式．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:长度等于___半径长____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度记作1 rad.
③角的弧度数由角的大小唯一确定,而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关.
④用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么,|α|=___.
(3)本质:角的两种不同的度量模式,适用情况不同,而且弧度是表示角的默认单
位.
(4)应用:角度制更容易理解和运算,与小学、初中知识更容易衔接;弧度制表示
角应用更广泛,与实数一一对应.
【思考】
初中学习的角度制是怎样定义的 1°角是多少
提示:定义:用度为单位来度量角的单位制;1度的角:周角的为1度角,记作1°.
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=__2π__ rad 2π rad=___360°___
180°=__π_ rad π rad= ___180°___
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×=度数
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么
提示:计算时,我们要特别注意π rad=180°,用这个公式进行互化即可.
3.轴线角的弧度制表示
（1）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（2）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（3）终边落在轴非正半轴上的角的集合表示：_____；
（4）终边落在轴非负半轴上的角的集合表示：_____；
（5）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（6）终边落在轴上的角的集合表示：_____；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合表示：_____.
4.象限角的弧度制表示
（1）终边落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）终边落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）终边落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）终边落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=____.
(2)扇形面积公式:S=_____=______.
【思考】
初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么
提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为,扇形面积公式为.
【课前基础演练】
题1．2 145°转化为弧度为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.2 145°＝2 145× rad＝ rad.
题2．下列各式不正确的是(　　)
A．－210°＝－　 B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
【解析】选C.对于A，－210°＝－210×＝－，正确；
对于B，405°＝405×＝，正确；
对于C，335°＝335×＝，错误；
对于D，705°＝705×＝，正确．
题3．终边在第一、四象限的角的集合可表示为(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
【解析】选D.终边在第一、四象限的角的集合，显然A，B不正确，对于C，包含x正半轴，不符合题意，D中，表示第一象限的角的集合，表示第四象限的角的集合，正确．
题4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是(　　)
A．－4π－　 B．－4π＋
C．－6π－ D．－6π＋
【解析】选D.－765°＝－720°－45°
＝－1 080°＋315°＝－6π＋.
题5．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是.
题6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　　)
A． 　 B． C．　 D．
【解析】选C.8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
题7(多选题)．下列角中与－终边不相同的是(　　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
【解析】选ACD.－＋2π＝，只有B选项与角－π终边相同．
题8(多选题)．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数可以为(　　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
【解析】选AB.设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，因为扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，
所以解得或
所以α＝1或4.
题9．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
【解析】60°＝，扇形的面积为S扇形＝αR2＝××()2＝π.
答案：π
题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km每小时的速度通过，10 s间转过________弧度．
【解析】10 s间列车转过的弧长为×30
＝(km)，转过的角α＝＝(弧度).
答案：
题11．已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，求这个圆心角所对的弓形面积．
【解析】如图所示，
扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，
所以△AOB为等边三角形，
其面积为×2×2×sin 60°＝；
又扇形的面积为×π×22＝，
所以弓形面积为－.
【课堂检测达标】
题12. 在直角坐标系xOy中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点P0为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每5 s转一圈，则2 s后P0P的长为(　　)
A．2sin B．2cos
C．4sin D．4cos
【解析】选C.由题意可知，一个质点在圆O上每5 s逆时针方向转一圈，那么2 s后，到达P点，所以∠POP0＝，而在△POP0中，OP＝OP0＝2且为圆的半径，取P0P的中点T，如图，则∠POT＝，所以sin ∠POT＝＝sin ，则PT＝PP0＝2sin ，所以PP0＝4sin .
题13．勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为2，则勒洛三角形的面积为(　　)
A.2π－2 B．2π＋
C．＋ D．4π
【解析】选A.根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长2为半径形成的三个圆弧构成了以2为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积．
所以勒洛三角形的面积为S半圆－2S△ABC＝×π×22－2××2×2×sin 60°＝2π－2.
题14(多选题)．下列转化结果正确的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
【解析】选ABD.30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．
题15(多选题)．下列说法正确的是(　　)
A．第二象限角大于第一象限角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
D．锐角一定是第一象限角
【解析】选CD.举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A错误；
当三角形的内角为90°时，既不是第一象限角，也不是第二象限角，故B错误；根据角的定义可知C正确．锐角是大于0°小于90°的角，它必在第一象限，正确．
题16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______．
【解析】A∶B∶C＝3∶5∶7，
则A占总度数的＝；
B占总度数的＝；
C占总度数的＝.
又三角形的内角和为π，则A为，B为，C为.
答案：，，
题17．中国扇有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________．
【解析】如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由弧长公式可得解得r＝，所以，S扇面＝S扇形OCD－S扇形OAB
＝×64×－×24×＝704(cm2).
答案：704 cm2
题18．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积).
【解析】(1)因为120°＝，所以的长l＝×6＝4π.
(2)S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
S△OAB＝AB·OD＝×2×3×3＝9，
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9.
题19．某学校新校区拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ.
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．
【解析】(1)由题意得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝，x∈(0，10).
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)·
(10－x)＝－x2＋5x＋50，x∈(0，10).
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，x∈(0，10).
所以花坛的面积与装饰总费用之比为y＝＝－，x∈(0，10).
令t＝17＋x，t∈(17，27)，则x＝t－17，y＝－＝－≤－＝，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.故y＝－，且y的最大值为.
【综合突破拔高】
题20．675°用弧度制表示为(　　)
A．π B．π C．π D．π
【解析】选C.因为180°＝π弧度，所以675°＝675×＝ rad.
题21．－转化为角度是(　　)
A．－300° B．－600° C．－900° D．－1 200°
【解析】选B.因为1 rad＝，所以－＝－×＝－600°.
题22．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得解得θ＝3.
题23．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)
A.
B．
C．
D．(k∈Z)
【解析】选D.阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z).
题24．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
【解析】选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．
题25．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为(　　)
A．5－ B．＋ C． D．5＋
【解析】选C.设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S，因为2R＋αR＝20，
所以S＝αR2＝R≤2＝25，取等号时10－R＝R，即R＝5，
所以面积取最大值时R＝5，α＝2，如图所示：
设内切圆圆心为O，扇形过点O的半径为AP，B为圆与半径的切点，
因为AO＋OP＝R＝5，所以r＋＝5，所以r＋＝5，所以r＝.
题26(多选题)．下列转化结果正确的是(　　)
A．67°30′化成弧度是 rad B．π化成度是405°
C．－150°化成弧度是 rad D．化成度是15°
【解析】选ABD.1°＝，对于A，67°30′＝67.5×＝ rad，A正确；
对于B，π rad＝π×＝405°，B正确；
对于C，－150°＝－150×＝－π rad≠π rad，C错误；
对于D， rad＝×＝15°，D正确．
题27(多选题)．下列与的终边相同的角的表达式中，不正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【解析】选ABD.A，B中弧度与角度混用，不正确；π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．
D中kπ＋π(k∈Z)，当k＝1时，kπ＋π＝π，但当k＝0时，kπ＋π＝π与π终边不同．
题28(多选题)．若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与终边相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选ABCD.由题意得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)，又∈[0，2π]，
所以k＝0，1，2，3，此时＝，，，.
题29(多选题)．与角π终边不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
【解析】选ACD.A中，＝2π＋π，与角π终边不同；B中，2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为π，与角π有相同的终边；C中，2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为π，与角π终边不同；D中，(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为π，与角π终边不同．
题30．如果一个扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的__________倍．
【解析】由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
题31. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为60米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为____________米．
【解析】如图，是月牙泉的示意图，O是QT的中点，连接PO，可得PO⊥QT，由条件可知QT＝60，PQ＝60，所以sin ∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，
所以月牙泉的周长l＝×60＋π×30＝π.
答案：(40＋30)π
题32．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，则2R＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝lR，得lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，所以α＝＝2 rad.所以扇形的圆心角为2 rad.
题33．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．
(1)当圆心角∠AOB为π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
(2)已知如图该扇形圆心角∠AOB是α，半径为r，若该扇形周长是一定值c.当α为多少弧度时，该扇形面积最大？
【解析】(1)由题意，如图所示CD＝2，令圆弧的半径为R，∠AOB＝，
所以OD＝R cos ＝，即CD＝OC－OD＝R－＝2，得R＝4，
所以弧田面积S＝S扇形OAB－S△AOB＝πR2－·OD·AB，
而AB＝R，所以S＝－4.
(2)由题意知：为αr，即该扇形周长αr＋2r＝c，而扇形面积S＝，
所以S＝＝≤＝，当且仅当α＝2时等号成立．
所以当α＝2时，该扇形面积最大．
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