人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 A(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册
第5章 一元函数的导数及其应用A(原卷版)
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)是R上的增函数
D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
2．设f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．0
C．3 D.
3．经过原点且与曲线y＝相切的切线方程为(　　)
A．x＋y＝0
B．x＋25y＝0
C．x＋y＝0或x＋25y＝0
D．以上皆非
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m＞
C．m≤ D．m＜
5．点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
6．在区间上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是(　　)
A. B.
C．8 D．4
7．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0，2)上恰好有(　　)
A．0个根 B．1个根
C．2个根 D．3个根
8．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s后距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1 s末 B．0 s
C．4 s末 D．0 s末，1 s末，4 s末
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．对于已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为4
B．已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V＝t2－1，则t＝2时的瞬时加速度为4
C．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
D．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋4(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)为奇函数
B．当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．当a＝－3时，函数f(x)有2个不同的零点
D．若函数f(x)在(0，2)上单调递减，则a<－3
11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的充分条件是(　　)
A．(－1，2) B.
C. D．(－2，1)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x＋y＝－1，且x，y都是负数，则xy＋的最小值为________．
14．已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)，在[－2，2]上有最小值3，那么f(x)在[－2，2]上的最大值为________．
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
16．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝x2＋ex－x·ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2)上单调递减．
(1)求a的值；
(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图象上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图象上．
19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a，b；
(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
20．(12分)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
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第5章 一元函数的导数及其应用A(解析版)
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)是R上的增函数
D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
答案　C
解析　由导函数f′(x)的图象知，在R上f′(x)≥0恒成立，故f(x)是R上的增函数，选C.
2．设f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．0
C．3 D.
答案　D
3．经过原点且与曲线y＝相切的切线方程为(　　)
A．x＋y＝0
B．x＋25y＝0
C．x＋y＝0或x＋25y＝0
D．以上皆非
答案　C
解析　∵y＝，
∴y′＝＝.
设切点为，
∴切线的斜率为－，
切线方程y－＝－·(x－x0)，①
∵切线过原点，
∴0－＝－·(0－x0)，
x02＋18x0＋45＝0，解得x0＝－3或x0＝－15.
代入①得切线方程为x＋y＝0或x＋25y＝0.故选C.
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m＞
C．m≤ D．m＜
答案　A
解析　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
5．点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　B
6．在区间上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是(　　)
A. B.
C．8 D．4
答案　D
7．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0，2)上恰好有(　　)
A．0个根 B．1个根
C．2个根 D．3个根
答案　B
解析　设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)在(0，2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，
f(x)＝0在(0，2)上恰好有一个根，故选B.
8．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s后距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1 s末 B．0 s
C．4 s末 D．0 s末，1 s末，4 s末
答案　D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．对于已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为4
B．已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V＝t2－1，则t＝2时的瞬时加速度为4
C．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
D．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
答案　AB
解析　对于已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝4，故A正确；
已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V＝t2－1，则V′＝2t，所以t＝2时的瞬时加速度为4，故B正确；
函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念，故函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，故C错误；
函数在闭区间上的最大值在极大值点处或端点处取得，故函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，故D错误．故选AB.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋4(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)为奇函数
B．当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．当a＝－3时，函数f(x)有2个不同的零点
D．若函数f(x)在(0，2)上单调递减，则a<－3
答案　BC
解析　当a＝0时，f(x)＝x3＋4，所以f(－x)＝－x3＋4≠－f(x)，所以当a＝0时，函数f(x)为奇函数错误，即A错误；
当a>0时，f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝3x2＋2ax>0，所以x>0或x<－，
所以当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，即B正确；
当a＝－3时，f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋1－3(x2－1)＝(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1)＝(x＋1)(x－2)2，
令f(x)＝0，所以x＝2或x＝－1，所以当a＝－3时，函数f(x)有2个不同的零点，即C正确；
因为f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，所以x＝0或x＝－，
当a<0时，函数f(x)在上单调递减，因为函数f(x)在(0，2)上单调递减，所以－a≥2，解得a≤－3，即D错误．故选BC.
11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
答案　ABC
解析　对于A，对于f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，
当x∈时，f″(x)<0，故A是凸函数；
对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－<0，故B是凸函数；
对于C，f(x)＝－x3＋2x－1，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，当x∈时，f″(x)<0，故C为凸函数；
对于D，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，当x∈时，f″(x)>0，所以函数不是凸函数．故选ABC.
12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的充分条件是(　　)
A．(－1，2) B.
C. D．(－2，1)
答案　ABC
解析　因为f(x)是奇函数，所以不等式xf′(x)即xf′(x)＋f(x)<0，即F′(x)<0，
当x∈(－∞，0]时，函数F(x)单调递减，
由于F(x)＝xf(x)为偶函数，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以F(3)>F(2x－1)等价于F(3)>F(|2x－1|)，
即3>|2x－1|，解得－1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x＋y＝－1，且x，y都是负数，则xy＋的最小值为________．
答案　
解析　设x＝－sin2α(sin2α≠0)，y＝－cos2α(cos2α≠0)，则xy＋＝sin2αcos2α＋＝sin22α＋＝.
∵sin22α＋在sin22α∈(0，1]上是减函数，
∴当sin22α＝1时，取得最小值，∴xy＋的最小值为×＝.
14．已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)，在[－2，2]上有最小值3，那么f(x)在[－2，2]上的最大值为________．
答案　43
解析　f′(x)＝6x2－12x，
令f′(x)>0得x<0或x>2.
∵x∈[－2，2]，∴f(x)在[－2，0]上单调递增，在[0，2]单调递减，
又∵f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40，
∴f(x)最小值为a－40，最大值为a.
∴a＝43，∴函数f(x)在[－2，2]上最大值为f(0)＝43.
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c解析　f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在上是增函数，∵>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c16．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
答案　21
解析　∵y′＝2x，∴在点(ak，ak2)处的切线方程为y－ak2＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1，0)，∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝x2＋ex－x·ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解析　(1)∵函数f(x)＝x2＋ex－x·ex，x∈R，
∴f′(x)＝x＋ex－(ex＋x·ex)＝x(1－ex)，
当x<0时，1－ex>0，f′(x)<0，
当x>0时，1－ex<0，f′(x)<0.
∴f(x)在R上为减函数，
即f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．
(2)当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，即x∈[－2，2]时，f(x)min>m，
由(1)知，f(x)在[－2，2]上单调递减．
∴f(x)min＝f(2)＝2－e2，
∴m<2－e2，即实数m的取值范围是(－∞，2－e2)．
18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2)上单调递减．
(1)求a的值；
(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图象上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图象上．
解析　(1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2)上单调递减，
∴x＝1时，取得极大值，∴f′(1)＝0.
又f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，
∴4－12＋2a＝0 a＝4.
(2)证明：点A(x0，f(x0))关于直线x＝1的对称点B的坐标为(2－x0，f(x0))，
f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1
＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1
＝x04－4x03＋4x02－1＝f(x0)，
∴点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图象上．
19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a，b；
(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解析　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由极值点的必要条件可知：
f′(－2)＝f′(4)＝0，即
解得a＝－3，b＝－24.
或f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x＋2)(x－4)
＝3x2－6x－24，
也可得a＝－3，b＝－24.
(2)f′(x)＝3(x＋2)(x－4)．
当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜4时，f′(x)＜0.
∴x＝－2是极大值点，而当x＞4时，f′(x)＞0，
∴x＝4是极小值点．
20．(12分)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解析　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
因为
所以
所以a＝－，b＝－3，
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，
f′(x)＝3x2－3x－3＝3(x2－x－1)．
因为f(1)＝－，即切点坐标为，
切线的斜率k＝f′(1)＝－3，
所以所求切线方程为y＋＝－3(x－1)，
即3x＋y－＝0.
(2)g(x)＝f′(x)e－x＝3(x2－x－1)e－x，
g′(x)＝3(2x－1)e－x＋3(x2－x－1)(－e－x)
＝－3x(x－3)e－x.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.
x，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(3)＝15e－3.
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
解析　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.
令 g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；当－0，从而g(x)在[－，]上是增函数．
由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝－＝，
∵f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.
(2)f′(x)＝，
∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.
①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，
∴f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)．
②当0由f′(x)>0，解得x> .
由f′(x)<0，解得x< .
∴f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；
当0综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．