人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 B(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册
第5章 一元函数的导数及其应用B(原卷版)
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中，正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　　　 B．②③
C．③④⑤ D．③
2．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A.米/秒 B.米/秒
C．8米/秒 D.米/秒
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则函数的另一个极值点为(　　)
A．－2 B．1
C．－ D．2
5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋a，对任意x∈[1，2]都有f(x)≤0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B.
C．(－∞，1] D．[－1，0]
6．已知函数f(x)＝ex＋的图象在点(0，f(0))处的切线与直线x－my＋4＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.
7．已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，8)
B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞)
D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
8．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为导函数，当x<0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)>0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：
x －1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，关于f(x)的命题正确的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)在[0，2]上是减函数
C．函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0，1，2，3，4
D．当110．关于函数f(x)＝＋lnx，下列说法正确的是(　　)
A．f(1)是f(x)的极小值
B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点
C．f(x)在(－∞，1)上单调递减
D．设g(x)＝xf(x)，则g11．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导数，且恒有cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0成立，则有(　　)
A．f>f B.f>f
C．f>f D.f>f
12．下列不等式中恒成立的有(　　)
A．ln(x＋1)≥，x>－1
B．ln≥，x>0
C．ex≥x＋1
D．cosx≥1－x2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
14．若f′(2)＝3，则 ＝________．
15．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________．
16．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
18．(12分)一家公司生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为(4－x)万元，且每万件国家给予补助万元．(e为自然对数的底数)
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；
(2)当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润及此时的月产量．(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本)
19．(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝0处的切线为l：4x＋y－5＝0，若x＝－2时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．
21．(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－ax＋2.
(1)当a＝1时，求在x＝1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)求证：＋＋＋…＋人教版高中数学选择性必修第二册
第5章 一元函数的导数及其应用B(解析版)
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中，正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　　　 B．②③
C．③④⑤ D．③
答案　D
解析　由图可知，当－3当－20；
①函数y＝f(x)在区间上先减后增，故不正确；
②函数y＝f(x)在区间上先增后减，故不正确；
③当x∈(4，5)时，恒有f′(x)>0，函数y＝f(x)在区间(4，5)上单调递增，故正确；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，故不正确；
⑤当x＝－时，f′(x)≠0，－不是极值点，故不正确．故选D.
2．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A.米/秒 B.米/秒
C．8米/秒 D.米/秒
答案　B
解析　物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出s＝t2＋的导数，代入4求值．
∵s′＝2t－，
∴它在4秒末的瞬时速度为2×4－＝.故选B.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－3＝0，x＝±1，
故函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，
又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1.
故最大值、最小值分别为3，－17.故选C.
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则函数的另一个极值点为(　　)
A．－2 B．1
C．－ D．2
答案　A
解析　由题意f′(1)＝3，f′＝0，
而f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以解得
所以f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，
解得x＝或－2，
经检验x＝－2也为函数的极值点．故选A.
5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋a，对任意x∈[1，2]都有f(x)≤0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B.
C．(－∞，1] D．[－1，0]
答案　B
解析　当x∈[1，2]时，f(x)≤0即ax2－2x＋a≤0，
即a(x2＋1)≤2x，可化为a≤，
令g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
当x∈[1，2]时，g′(x)≤0，且等号不恒成立，
故g(x)在[1，2]上单调递减．
因此当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝＝，
所以a≤g(x)min＝.
故实数a的取值范围是.故选B.
6．已知函数f(x)＝ex＋的图象在点(0，f(0))处的切线与直线x－my＋4＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.
答案　A
解析　由f(x)＝ex＋，得f′(x)＝ex＋＝ex＋，
则f′(0)＝e0＋2＝3，
∵函数f(x)＝ex＋的图象在点(0，f(0))处的切线与直线x－my＋4＝0垂直，
∴＝－，则m＝－3.故选A.
7．已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，8)
B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞)
D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
答案　B
解析　函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝2x－＝≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
则a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
所以a≤16.故选B.
8．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为导函数，当x<0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)>0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
答案　D
解析　设F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
∵当x<0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)>0，
∴当x<0时，F′(x)>0.
∴当x<0时，F(x)为增函数．
又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，
故F(x)为R上的奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．
已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.
则F(x)的大致图象如图所示，
由图可知F(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：
x －1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，关于f(x)的命题正确的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)在[0，2]上是减函数
C．函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0，1，2，3，4
D．当1答案　BC
解析　对于A，题目只给出函数f(x)在定义域[－1，5]的4个对应值，不能得到函数f(x)是周期函数，故A错误．
对于B，由图象可得函数y＝f′(x)在[0，2]上小于等于0，所以函数y＝f(x)在[0，2]上是减函数，故B正确．
对于C，由于函数y＝f(x)在[－1，0]，[0，2]，[2，4]，[4，5]分别单调递增，单调递减，单调递增和单调递减，
如上图所示：
当a>2时，函数y＝f(x)－a的零点个数为0；
当f(2)<1，a＝f(2)时，函数y＝f(x)－a的零点个数为1；当a＝2时，函数y＝f(x)－a的零点个数为2；
当f(2)＝1时，若a＝1，则函数y＝f(x)－a的零点个数为3，若1对于D，如果f(2)＝1.5，a＝1.25时，此时函数y＝f(x)－a有2个零点，故D错误．故选BC.
10．关于函数f(x)＝＋lnx，下列说法正确的是(　　)
A．f(1)是f(x)的极小值
B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点
C．f(x)在(－∞，1)上单调递减
D．设g(x)＝xf(x)，则g答案　ABD
解析　f′(x)＝－＋＝，
由f′(x)>0，得x>1，
由f′(x)<0，得0所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝1处取得极小值，则A正确，C错误；
对于B，令h(x)＝f(x)－x＝＋lnx－x，
则h′(x)＝－＋－1＝<0，
得h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
则函数y＝f(x)－x有且只有1个零点为1，故B正确；
对于D，g(x)＝xf(x)＝1＋xlnx，
则g′(x)＝lnx＋1，
由g′(x)>0得，x>，
得g(x)在上单调递增，而<，
则g11．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导数，且恒有cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0成立，则有(　　)
A．f>f B.f>f
C．f>f D.f>f
答案　CD
解析　∵cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0，
∴在上，′<0，
∴函数y＝在上单调递减，
∴>，>，
∴f>f，f>f.故选CD.
12．下列不等式中恒成立的有(　　)
A．ln(x＋1)≥，x>－1
B．ln≥，x>0
C．ex≥x＋1
D．cosx≥1－x2
答案　ACD
解析　设f(x)＝ln(x＋1)－，x>－1，则f′(x)＝－＝＝，
当－10时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝0，
∴f(x)≥0，∴ln(x＋1)≥，A正确；
设g(x)＝ln－，x>0，
则g′(x)＝·－1－＝
＝－<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值，B错误；
设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，当x<0时，h′(x)<0，当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴h(x)≥h(0)＝0，即ex≥x＋1，C正确；
设t(x)＝cosx－1＋x2，则t′(x)＝－sinx＋x，令p(x)＝－sinx＋x，则p′(x)＝－cosx＋1≥0恒成立，
∴p(x)在R上单调递增，p(0)＝0，∴当x>0时，p(x)>0，即t′(x)>0，当x<0时，p(x)<0，即t′(x)<0，
∴t(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴t(x)≥t(0)＝0，
∴cosx≥1－x2，D正确．故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
答案　4
解析　由导数的几何意义可知f′(1)＝1，
又由题知f(1)＝1＋2＝3，
所以f(1)＋f′(1)＝4.
14．若f′(2)＝3，则 ＝________．
答案　6
解析　 ＝2
＝2f′(2)＝2×3＝6.
15．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________．
答案　－
解析　∵f(x)＝f′sinx＋cosx，
∴f′(x)＝f′cosx－sinx，
∴f′＝f′cos－sin，即f′＝－1，
∴f′(x)＝－cosx－sinx，
∴f′＝－cos－sin＝－－＝－.
16．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
答案　②
解析　由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，
当x<0时，f(x)单调递增，f′(x)>0；
当x＝0时，f′(x)＝0；
当x>0时，f(x)单调递减，f′(x)<0，故②符合．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
解析　(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由f′＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
得a＝－，b＝－2，
经检验，a＝－，b＝－2符合题意，
所以，所求的函数解析式为f(x)＝x3－x2－2x.
(2)由(1)得f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
列表
x － 1 (1，2)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
且f(－2)＝－6，f＝，f(1)＝－，f(2)＝2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(－2)＝－6.
18．(12分)一家公司生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为(4－x)万元，且每万件国家给予补助万元．(e为自然对数的底数)
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；
(2)当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润及此时的月产量．(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本)
解析　(1)由题意，可得
f(x)＝x(4－x＋2e－－－2)－1＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(0(2)由(1)知f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(0则f′(x)＝－2x＋2(e＋1)－＝，
当x∈时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x 1 (1，e) e
f′(x) 0 ＋ 0 －
f(x) f(1) ? f(e) ?
由上表，得f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2在上的最大值为f(e)，且f(e)＝e2－2.
所以月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润为(e2－2)万元，此时的月产量为e万件．
19．(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解析　f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，
即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0.
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝0处的切线为l：4x＋y－5＝0，若x＝－2时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．
解析　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝0时，切线l的斜率为－4，可得b＝－4，①
当x＝－2时，y＝f(x)有极值，得f′(－2)＝0，
∴12－4a＋b＝0，②
由①②得：a＝2，b＝－4，
由于切点的横坐标为x＝0，
∴f(0)＝5，∴c＝5，
∴a＝2，b＝－4，c＝5.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的值及变化如下表：
x －3 (－3，－2) －2 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 8 递增 13 递减 递增 4
∴y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为.
21．(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围．
解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不符合题意．
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，
最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1，
所以－lna＋a－1>2a－2，即lna＋a－1<0.
令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
于是，当01时，g(a)>0，所以0综上，实数a的取值范围为(0，1)．
22．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－ax＋2.
(1)当a＝1时，求在x＝1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)求证：＋＋＋…＋解析　(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋2(x>0)，
f′(x)＝lnx＋－1＝lnx＋，
因为f′(1)＝1，f(1)＝1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.
(2)f′(x)＝lnx＋－a(x>0)．
①当函数f(x)在定义域上单调递增时，f′(x)≥0，
所以a≤lnx＋在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝lnx＋＝lnx＋＋1(x>0)，
则g′(x)＝－＝，
所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
所以g(x)≥g(1)＝2，
所以a≤2；
②当函数f(x)在定义域上单调递减时，f′(x)≤0，
所以a≥lnx＋在(0，＋∞)上恒成立，
由①知，g(x)在(0，＋∞)上无最大值，故不成立，
综上，a∈(－∞，2]．
(3)证明：由①得当a＝2时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)＝0，
即(x＋1)lnx－2x＋2>0，
所以lnx>在(1，＋∞)上恒成立，
令x＝，n∈N*，得ln>，
化简得ln(n＋1)－lnn>，
所以ln2－ln1>，
ln3－ln2>，
…，
ln(n＋1)－lnn>，
累加得ln(n＋1)－ln1>＋＋…＋，
即＋＋＋…＋