15.1轴对称图形-解读轴对称 课件 (共39张PPT)2023--2024学年沪科版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 15.1轴对称图形-解读轴对称 课件 (共39张PPT)2023--2024学年沪科版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-14 22:10:46 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
沪科版八年级上册数学
解读轴对称
轴对称与轴对称图形
认识轴对称图形与两图形成轴对称
观察下列图形有什么特征？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
观察下列图形有什么特征？
认识轴对称图形与两图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两图形叫做关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折后重合的点是对应点，又叫做对称点．
两个图形成轴对称：
认识轴对称图形与两图形成轴对称
联系：轴对称图形被对称轴分成两个图形，两个图形成轴对称. 成轴对称的两个图合并为一个整体时，它就是一个轴对称图形；
区别：轴对称图形是这个图形本身关于一条直线对称；轴对称是两个图形关于一条直线对称，是两个图形之间的关系。
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形面积
对称两侧的部分面积相等，成轴对称的两个图形面积相等
不规则图形
规则图形
例题 下面图形是轴对称图形吗？如果是，请你画出它的对称轴．
分析：
不是轴对称图形
是轴对称图形，有5条对称轴
是轴对称图形，有1条对称轴
不是轴对称图形
例题 下面图形是轴对称图形吗？如果是，请你画出它的对称轴．
解：
第一幅图不是轴对称图形
第二幅图是轴对称图形，有5条对称轴
第三幅图是轴对称图形，有1条对称轴
第四幅图不是轴对称图形
小结：在判断轴对称图形时，一般把线段中点连线、对角线连线等作为对称轴.
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
分析：
根据轴对称的定义可知：这个图形有四种对称方式
上下对称
左右对称
左斜对称
右斜对称
①
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
②
③
④
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解：
小结：从不同的角度和思路出发画出不同的轴对称图形，先尝试做出可能的对称轴，再根据轴对称图形特征补图形.
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
甲和乙两个图形关于直线MN成轴对称，但是甲图形不一定是轴对称图形
注意区分轴对称图形和两个图形成轴对称的概念
乙
甲
M
N
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
不是任何一个图形都有对称轴，只有轴对称图形才有
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
成轴对称的两个图形是全等形，但是全等图形不一定是成轴对称图形
注意成轴对称图形的性质
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
考查轴对称性质，对应边相等，对应角相等，所以周长相等
D
小结：理解轴对称的定义及性质，区别轴对称及两个图形成轴对称的概念，是解决本题的关键.
例 △ABC为等腰三角形， AB=AC，点D为底边BC的中点，若BC=11cm，AD=12cm，求阴影面积．
分析：
△ABC为等腰三角形， AB=AC，D为底边BC的中点
△EBF≌△ECF
△EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称
阴影面积=ABD的面积
A
B
D
C
解：
∵ ABC为等腰三角形，点D为底边BC的中点
∴ AD⊥BC，AD为△ABC 的对称轴
∴ △EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称
∵ BC=11cm， AD=12cm
即阴影部分面积为33 cm2
∴ S阴=S△ABD=
小结：通过观察图形特征，发现△EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称，这两个三角形的面积相等是解题的关键.
11cm
12cm
E
F
例 △ABC为等腰三角形， AB=AC，点D为底边BC的中点，若BC=11cm，AD=12cm，求阴影面积．
∴S△EBF =S△ECF
轴对称的应用
坐标思想
图形变换
轴对称的应用
在平面坐标系中作轴对称图形
已知点 (x，y)
关于x轴的对称点 (x，－y)
关于y轴的对称点 (－x，y)
(x，y)
(x，－y)
(－x，y)
坐标思想
图形变换
两点之间线段最短，三角形三边关系
轴对称的应用
在平面坐标系中作轴对称图形
作最短路径
A
B
C
C’
A
B
C’
B’
C
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
作关于x轴的对称图形，先作点的对称然后连线
A（0，2）关于x轴的对称点为A1（0，-2）
A1（0，-2）
B（2，4）关于x轴的对称点为B1（2，-4）
C（3，-2）关于x轴的对称点为C1（3，2）
B1（2，-4）
C1（3，2）
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
A1（0，-2）
B1（2，-4）
C1（3，2）
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于x轴的对称点 A1(0，－2) B1(2，－4) C1(3，2)
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
B2（-2，4）
C2（-3，-2）
A2
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于y轴的对称点 A2(0，2) B2(－2，4) C2(－3，－2)
解：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
小结：
根据点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)求出点坐标，标在图上.也可根据对称轴为对称图形对应点连线的中垂线来直接作图.
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于x轴的对称点 (0，－2) (2，－4) (3，2)
关于y轴的对称点 (0，2) (－2，4) (－3，－2)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
B
A
C
B
A
C
B
A
C
分析：上下对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
分析：左右对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
分析：左斜对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
分析：右斜对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
分析：
D
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
小结：
观察图形，根据图形特点先确定对称轴，图形往往呈上下对称，对称轴为横线；左右对称，对称轴为竖线；左斜对称，右斜对称，对称轴为45°方向的斜线. 确定对称轴后，再补全对称图形.
B
A
C
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
D
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
A
B
C
D
E
F
M
分析：
要求BDM的周长最小值
求BD+DM+BM最小值
求DM+BM最小值
由EF是AB的垂直平分线，连接AM，则AM=BM
由BC=4，D为BC中点，可知BD=2
求DM+AM最小值
AD的长就是DM+AM的最小值，即DM+BM的最小值
连AD交EF与点M ，
M ，
BDM的周长最小值就是BD+AD
A
B
C
D
E
F
M
解：
连接AD交EF与点M ，
M ，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点且BC=4
∴AD⊥BC,BD=2
又∵△ABC面积是12
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
∴AD=6
∴
6
2
A
B
C
D
E
F
M
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴BM=AM
∴BM+MD=AM+MD
∴当点M位于点M ，处时，BM+MD有最小值，最小值为AD的长
∴BDM的周长最小值为BD+AD=2+6=8
∵AM+MD ≥ AD
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
连接AM
小结：本题考查轴对称最短路径问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.
M ，
6
2
解：
例题 如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求PMN的周长最小值．
A
O
B
P
M
N
分析：
要求 PMN 的周长最小值
求PM+MN+PN的最小值
C
D
作点P关于射线OA,OB的对称点C,D,连CM,DN
M ，
N ，
求CM+MN+DN的最小值
连CD，交OA,OB于点M ，,N ，
当C, M ,N ,D四点共线即M,N 分别与M ，,N ，重合时，则CD的长就是 PMN 的周长最小值
例题 如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求PMN的周长最小值．
A
O
B
P
M
N
解：
C
D
M ，
N ，
作点P关于射线OA的对称点C,关于射线OB的对称点D
连接CM,DN,OC,OD,连接CD,交OA,OB于点M ，,N ，
CM=PM,PN=DN,
由轴对称的性质可知：
∠POB=∠DOB,
∠COA=∠POA
∵OP=6
∴OC=OP=OD=6
∵∠COD=∠COA+∠POA+∠DOB+∠POB=30°+ 30°=60°
∴COD是等边三角形
∴CD=OC=OD=6
∴ C△PMN=PM+PN+MN= CM+DN+MN
当C、M、N、D四点共线即M,N 分别与M ，,N ，重合时，
PMN周长最小，最小值为CD的长
∴ PMN周长最小值为6.
6
6
6
小结：
将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题. 用化曲为直思想把动线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径.
解读轴对称
轴对称与轴对称图形
轴对称的应用
认识轴对称图形与两图形成轴对称
轴对称与轴对称图形的区别与联系
对称两侧的部分面积相等，成轴对称的两个图形面积相等
在平面坐标系中作轴对称图形
作最短路径
两点之间线段最短，三角形三边关系
坐标思想
图形变换
再 见
沪科版八年级上册数学
解读轴对称
轴对称与轴对称图形
认识轴对称图形与两图形成轴对称
观察下列图形有什么特征？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
观察下列图形有什么特征？
认识轴对称图形与两图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两图形叫做关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折后重合的点是对应点，又叫做对称点．
两个图形成轴对称：
认识轴对称图形与两图形成轴对称
联系：轴对称图形被对称轴分成两个图形，两个图形成轴对称. 成轴对称的两个图合并为一个整体时，它就是一个轴对称图形；
区别：轴对称图形是这个图形本身关于一条直线对称；轴对称是两个图形关于一条直线对称，是两个图形之间的关系。
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形面积
对称两侧的部分面积相等，成轴对称的两个图形面积相等
不规则图形
规则图形
例题 下面图形是轴对称图形吗？如果是，请你画出它的对称轴．
分析：
不是轴对称图形
是轴对称图形，有5条对称轴
是轴对称图形，有1条对称轴
不是轴对称图形
例题 下面图形是轴对称图形吗？如果是，请你画出它的对称轴．
解：
第一幅图不是轴对称图形
第二幅图是轴对称图形，有5条对称轴
第三幅图是轴对称图形，有1条对称轴
第四幅图不是轴对称图形
小结：在判断轴对称图形时，一般把线段中点连线、对角线连线等作为对称轴.
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
分析：
根据轴对称的定义可知：这个图形有四种对称方式
上下对称
左右对称
左斜对称
右斜对称
①
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
②
③
④
例题 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解：
小结：从不同的角度和思路出发画出不同的轴对称图形，先尝试做出可能的对称轴，再根据轴对称图形特征补图形.
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
甲和乙两个图形关于直线MN成轴对称，但是甲图形不一定是轴对称图形
注意区分轴对称图形和两个图形成轴对称的概念
乙
甲
M
N
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
不是任何一个图形都有对称轴，只有轴对称图形才有
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
成轴对称的两个图形是全等形，但是全等图形不一定是成轴对称图形
注意成轴对称图形的性质
例题 下列说法正确的是（ ）
A. 如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形.
B. 任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴.
C. 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称.
D. 如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
分析：
如果ABC和EFG成轴对称，那么它们的周长一定相等.
考查轴对称性质，对应边相等，对应角相等，所以周长相等
D
小结：理解轴对称的定义及性质，区别轴对称及两个图形成轴对称的概念，是解决本题的关键.
例 △ABC为等腰三角形， AB=AC，点D为底边BC的中点，若BC=11cm，AD=12cm，求阴影面积．
分析：
△ABC为等腰三角形， AB=AC，D为底边BC的中点
△EBF≌△ECF
△EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称
阴影面积=ABD的面积
A
B
D
C
解：
∵ ABC为等腰三角形，点D为底边BC的中点
∴ AD⊥BC，AD为△ABC 的对称轴
∴ △EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称
∵ BC=11cm， AD=12cm
即阴影部分面积为33 cm2
∴ S阴=S△ABD=
小结：通过观察图形特征，发现△EBF和△ECF关于AD所在的直线成轴对称，这两个三角形的面积相等是解题的关键.
11cm
12cm
E
F
例 △ABC为等腰三角形， AB=AC，点D为底边BC的中点，若BC=11cm，AD=12cm，求阴影面积．
∴S△EBF =S△ECF
轴对称的应用
坐标思想
图形变换
轴对称的应用
在平面坐标系中作轴对称图形
已知点 (x，y)
关于x轴的对称点 (x，－y)
关于y轴的对称点 (－x，y)
(x，y)
(x，－y)
(－x，y)
坐标思想
图形变换
两点之间线段最短，三角形三边关系
轴对称的应用
在平面坐标系中作轴对称图形
作最短路径
A
B
C
C’
A
B
C’
B’
C
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
作关于x轴的对称图形，先作点的对称然后连线
A（0，2）关于x轴的对称点为A1（0，-2）
A1（0，-2）
B（2，4）关于x轴的对称点为B1（2，-4）
C（3，-2）关于x轴的对称点为C1（3，2）
B1（2，-4）
C1（3，2）
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
A1（0，-2）
B1（2，-4）
C1（3，2）
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于x轴的对称点 A1(0，－2) B1(2，－4) C1(3，2)
分析：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
B2（-2，4）
C2（-3，-2）
A2
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于y轴的对称点 A2(0，2) B2(－2，4) C2(－3，－2)
解：
例题 如图，在网格中作出ABC关于x轴和y轴对称的图形，并求出各对应点的坐标．
B (2,4)
A (0,2)
C (3,-2)
小结：
根据点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)求出点坐标，标在图上.也可根据对称轴为对称图形对应点连线的中垂线来直接作图.
已知点 A(0，2) B(2，4) C(3，－2)
关于x轴的对称点 (0，－2) (2，－4) (3，2)
关于y轴的对称点 (0，2) (－2，4) (－3，－2)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
B
A
C
B
A
C
B
A
C
分析：上下对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
分析：左右对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
分析：左斜对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
分析：右斜对称轴
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
分析：
D
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
小结：
观察图形，根据图形特点先确定对称轴，图形往往呈上下对称，对称轴为横线；左右对称，对称轴为竖线；左斜对称，右斜对称，对称轴为45°方向的斜线. 确定对称轴后，再补全对称图形.
B
A
C
例题 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
D
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
A
B
C
D
E
F
M
分析：
要求BDM的周长最小值
求BD+DM+BM最小值
求DM+BM最小值
由EF是AB的垂直平分线，连接AM，则AM=BM
由BC=4，D为BC中点，可知BD=2
求DM+AM最小值
AD的长就是DM+AM的最小值，即DM+BM的最小值
连AD交EF与点M ，
M ，
BDM的周长最小值就是BD+AD
A
B
C
D
E
F
M
解：
连接AD交EF与点M ，
M ，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点且BC=4
∴AD⊥BC,BD=2
又∵△ABC面积是12
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
∴AD=6
∴
6
2
A
B
C
D
E
F
M
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴BM=AM
∴BM+MD=AM+MD
∴当点M位于点M ，处时，BM+MD有最小值，最小值为AD的长
∴BDM的周长最小值为BD+AD=2+6=8
∵AM+MD ≥ AD
例题 如图， 等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，求BDM的周长的最小值．
连接AM
小结：本题考查轴对称最短路径问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.
M ，
6
2
解：
例题 如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求PMN的周长最小值．
A
O
B
P
M
N
分析：
要求 PMN 的周长最小值
求PM+MN+PN的最小值
C
D
作点P关于射线OA,OB的对称点C,D,连CM,DN
M ，
N ，
求CM+MN+DN的最小值
连CD，交OA,OB于点M ，,N ，
当C, M ,N ,D四点共线即M,N 分别与M ，,N ，重合时，则CD的长就是 PMN 的周长最小值
例题 如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求PMN的周长最小值．
A
O
B
P
M
N
解：
C
D
M ，
N ，
作点P关于射线OA的对称点C,关于射线OB的对称点D
连接CM,DN,OC,OD,连接CD,交OA,OB于点M ，,N ，
CM=PM,PN=DN,
由轴对称的性质可知：
∠POB=∠DOB,
∠COA=∠POA
∵OP=6
∴OC=OP=OD=6
∵∠COD=∠COA+∠POA+∠DOB+∠POB=30°+ 30°=60°
∴COD是等边三角形
∴CD=OC=OD=6
∴ C△PMN=PM+PN+MN= CM+DN+MN
当C、M、N、D四点共线即M,N 分别与M ，,N ，重合时，
PMN周长最小，最小值为CD的长
∴ PMN周长最小值为6.
6
6
6
小结：
将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题. 用化曲为直思想把动线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径.
解读轴对称
轴对称与轴对称图形
轴对称的应用
认识轴对称图形与两图形成轴对称
轴对称与轴对称图形的区别与联系
对称两侧的部分面积相等，成轴对称的两个图形面积相等
在平面坐标系中作轴对称图形
作最短路径
两点之间线段最短，三角形三边关系
坐标思想
图形变换
再 见