人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1-5.1.2第一课时 变化率问题与导数的概念同步训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.1.1 5.1.2第一课时 变化率问题与导数的概念同步训练（原卷版）
[A级　基础巩固]
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　)
A．圆　　　　　　　　　　 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
3．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
5．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
6．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
9．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．
10．已知函数y＝f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
[B级　综合运用]
11．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li ＝－1，则f′(0)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
12．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
13．一物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
14．子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
[C级　拓展探究]
15．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；(2) .
人教版高中数学选择性必修第二册
5.1.1 5.1.2第一课时 变化率问题与导数的概念同步训练（解析版）
[A级　基础巩固]
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　)
A．圆　　　　　　　　　　 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：选D　当f(x)＝b时，瞬时变化率 ＝＝0，所以f(x)的图象为一条直线．
2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C　f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
3．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B　∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴＝ (18＋3Δt)＝18，故应选B.
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C　f′(0)＝
＝＝ (Δx－3)＝－3.故选C.
5．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
6．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2.
答案：－2
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝＝a，∴a＝2.
答案：2
8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA＜kAB＜kBC.
答案：1＜2＜3
9．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．
解析：选C　∵Δs＝s(3＋Δt)－s(3)
＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－1＋3－32
＝Δt2＋5Δt
∴＝5＋Δt，
∴当t＝3时，瞬时速度是(5＋Δt)＝5米/秒．
答案：5
10．已知函数y＝f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴f′(4)＝＝
＝＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝(Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
[B级　综合运用]
11．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li ＝－1，则f′(0)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝＝＝－1，
故选B.
12．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
解析：选D　f′(x)＝＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
13．一物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
14．子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s(t)＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，∴＝＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800 m/s.
所以子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
[C级　拓展探究]
15．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
解：(1)
＝－m＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝－
＝4－5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．