人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2第一课时等比数列的前n项和 同步训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2第一课时等比数列的前n项和同步训练（原卷版）
[A级　基础巩固]
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n)　　　　　　 B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D．(1－2－n)
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　)
A．－ D．
C．－或1 D．或1
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．5
C．－8 D．－11
4．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
8．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
[B级　综合运用]
11．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8
C.＝8 D．＝9
12．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)
A．190 B．191
C．192 D．193
13．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.
14．在数列中，若an＝求数列的前n项和．
[C级　拓展探究]
15．设a1，a2，…，an成等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝＋＋…＋，P＝a1·a2·…·an .
求证：(1)＝a1·an；(2)P2Rn＝Sn.
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2第一课时等比数列的前n项和同步训练（解析版）
[A级　基础巩固]
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n)　　　　　　 B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D．(1－2－n)
解析：选C　由a5＝a2q3，得q3＝，
所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，
首项a1·a2＝8，公比q2＝，
所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝＝(1－4－n)．
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　)
A．－ D．
C．－或1 D．或1
解析：选C　由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D　设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.
所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.
因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
所以＝＝＝＝＝－11.故选D.
4．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
解析：选ABC　∵a1>1，a7·a8>1，<0，
∴a7>1,0∴0a7a9＝a<1，故B正确；
T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，05．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，
即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝2.
答案：2
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
解析：由＝q，q＝2，得＝2 a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．
解析：由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
答案：
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.
[B级　综合运用]
11．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8
C.＝8 D．＝9
解析：选AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故选A、D.
12．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)
A．190 B．191
C．192 D．193
解析：选C　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
13．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×.
答案：an＝4×n－1　×
14．在数列中，若an＝求数列的前n项和．
解：当n＝1时，S1＝a1＝1.
当n≥2时，若a＝0，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a＝1，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a≠0且a≠1，
则Sn＝1＋＋＋…＋
＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)
＝＋.
综上所述，Sn＝
[C级　拓展探究]
15．设a1，a2，…，an成等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝＋＋…＋，P＝a1·a2·…·an .
求证：(1)＝a1·an；
(2)P2Rn＝Sn.
证明：本题分q≠1和q＝1两种情形进行讨论．
情形1：q≠1.
(1)显然，此时S＝，
R＝＝，
P＝a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1qn－1)＝aq.
∴＝aqn－1＝a1(a1qn－1)＝a1an.
(2)由(1)，得n＝(aqn－1)n＝2＝P2，
∴P2Rn＝Sn.
情形2：q＝1.
(1)显然，此时S＝na1，R＝，P＝a，
∴＝a＝a1an.
(2)由(1)得n＝a＝P2，即P2Rn＝Sn.
故两式均成立．
综上所述，不论q是否为1，两式都成立．