人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2第一课时 等差数列的前n项和公式 同步训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.2.2第一课时 等差数列的前n项和公式 同步训练（原卷版）
[A级　基础巩固]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)
A．49　　　　　　　　　　 B．42
C．35 D．28
2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)
A．4 D．
C．－4 D．－
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665
C．763 D．663
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．29
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
[B级　综合运用]
11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)
A．15 B．24
C．18 D．28
12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
13．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.
14．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[C级　拓展探究]
15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
人教版高中数学选择性必修第二册
4.2.2第一课时 等差数列的前n项和公式 同步训练（解析版）
[A级　基础巩固]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)
A．49　　　　　　　　　　 B．42
C．35 D．28
解析：选B　2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.
2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)
A．4 D．
C．－4 D．－
解析：选A　由S5＝＝＝55，解得a3＝11.
∴P(3,11)，Q(4,15)，
∴k＝＝4.故选A.
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665
C．763 D．663
解析：选B　∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，
∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
解析：选A　＝＝＝＝·＝1.
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．29
解析：选B　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10， ②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
答案：
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.
答案：
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则　解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
解：∵Sn＝n2－2n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，
∴a2＋a3－a4＋a5＋a6
＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4
＝2a4＋2a4－a4＝3a4
＝3×(2×4－3)＝15.
[B级　综合运用]
11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)
A．15 B．24
C．18 D．28
解析：选C　设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
即6a1＋(n＋12)d＝24.
又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，解得n＝18.
12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
解析：选BC　由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
13．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.
解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，
∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.
又∵am＝a1＋d(m－1)，∴＝9，
∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.
∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，
∴a100＝a1＋99d＝101.
答案：15　101
14．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以 3为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
[C级　拓展探究]
15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得(t∈N*且≤t≤67)．
则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且≤t≤67)，各项之和为67×9＋×12＝27 135.