人教版高中数学选择性必修第二册4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和 同步训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和 同步训练（原卷版）
[A级　基础巩固]
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　)
A．15　　　　　　　　　　 B．16
C．31 D．32
2．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是(　　 )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　)
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021＝________.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
7．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
[B级　综合运用]
11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　)
A．504 B．294
C．－294 D．－504
12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A．S5＝F7－1 B．S5＝S6－1
C．S2 019＝F2 021－1 D．S2 019＝F2 020－1
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a－1(n＞1)，则a2 021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．
14．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
[C级　拓展探究]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
人教版高中数学选择性必修第二册
4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和 同步训练（解析版）
[A级　基础巩固]
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　)
A．15　　　　　　　　　　 B．16
C．31 D．32
解析：选C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
2．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选A　由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.
3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是(　　 )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析：选BC　an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选B、C.
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　)
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
解析：选C　由题意得ak＝.k≥2时，ak－1ak＝＝n2.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故选C.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.
6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021＝________.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
解析：根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2 021＝673×3＋x2＝1.
答案：1
7．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
答案：
8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一个通项公式为an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.它的一个通项公式为an＝.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一个通项公式为an＝2n－1＋1.
10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.
[B级　综合运用]
11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　)
A．504 B．294
C．－294 D．－504
解析：选C　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∴S1 008＝S4×252＝252×＝－294.
12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A．S5＝F7－1 B．S5＝S6－1
C．S2 019＝F2 021－1 D．S2 019＝F2 020－1
解析：选AC　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.故选A、C.
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a－1(n＞1)，则a2 021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．
解析：由a1＝1，an＝a－1(n＞1)，得
a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，
a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，
由此可猜想当n＞1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2 021＝－1，|an＋an＋1|＝1.
答案：－1　1
14．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.
∴＝n＋1，
∴an＝(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，
∴an＝.
[C级　拓展探究]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．