4.3.3 余角和补角 导学案（含答案）

课题：余角和补角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质．
2．了解方位角，能确定物体的具体方位．
余角和补角的性质．
方位角的应用．
【导学流程】
一、情景导入、感受新知
在5.12大地震中，都江堰大坝受到严重损害，需要修复加固．施工前要求先测量大坝的倾斜角，但坝底是由石块堆积而成，量角器无法伸入大坝底部测量，聪明的你有什么简单的方法吗？要解决这问题，我们先来学习4.3.3余角和补角(板书设计)．
二、自学互研、生成新知
【自主探究】
阅读教材P137例3前内容，完成下列问题：
1 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为__ __，即其中一个角是另一个的__ __，用几何语言表示：如果∠α＋∠β＝90°，那么∠α与∠β互为__ _，反过来也成立．
2 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为__ __，即其中一个角是另一个的补角，用几何语言表示，如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β互为__ __，反过来也成立．
③a.已知∠α是锐角，则∠α的余角可表示为__ __，∠α的补角可表示为__ _．若∠α的补角是它的3倍，则∠α＝45°.
b．仿①用几何语言说理的方式说明“等角的补角相等”．
　∠1与∠3互为补角，∠2与∠4互为补角，∠1＝∠2，那么∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2，所以∠3＝∠4，这说明∠1的补角与∠2的补角相等，即等角的补角相等．　
c．对于余角也有类似性质：同角(等角)的余角__ __．
④∠1与∠2，∠3都互为补角，那么∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3，这说明∠1的补角∠2，∠3相等，即同角的补角相等．
【合作探究】
练习：
1．若∠A＝35°，则∠A的余角等于____，补角等于__ __．
2．如果∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，那么∠1__ __∠3，理由是__ __；如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，那么∠2__ __∠4，理由是__ __．
师生活动：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内同学间相互交流、纠错．
三、典例剖析、运用新知
【自主探究】
学习教材P138“例4”．
a．在课本上完成例4中未完成的画图．
b．例4中，灯塔A在货轮O的南偏东60°方向上，反过来，货轮O在灯塔A的什么方向上？　北偏西60°.　
c．如图，射线OA表示的方向是__ __，射线OB表示的方向是__ __或_ __，射线OC表示的方向是__ __．
【合作探究】
例：如右图，E，D，F在同一条直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2.
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？
(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(3)∠ADC与∠BDE有什么关系？为什么？
师生活动：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内同学间相互交流，纠错．
四、课堂小结、回顾新知
1．让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等．
2．教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评．
五、检测反馈、落实新知
1．120°－α与α－30°的关系是( )
A．120°－α＜α－30° B．相等
C．互补 D．互余
2．已知∠A是它补角的4倍，那么∠A等于( )
A．144° B．36° C．90° D．72°
3．一个角的补角这个角的3倍，求这个角的余角．
4．如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？
(2)指出图中所有互余和互补的角．
六、课后作业、巩固新知
(见学生用书)
课题：余角和补角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质．
2．了解方位角，能确定物体的具体方位．
余角和补角的性质．
方位角的应用．
【导学流程】
一、情景导入、感受新知
在5.12大地震中，都江堰大坝受到严重损害，需要修复加固．施工前要求先测量大坝的倾斜角，但坝底是由石块堆积而成，量角器无法伸入大坝底部测量，聪明的你有什么简单的方法吗？要解决这问题，我们先来学习4.3.3余角和补角(板书设计)．
二、自学互研、生成新知
【自主探究】
阅读教材P137例3前内容，完成下列问题：
①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为__余角__，即其中一个角是另一个的__余角__，用几何语言表示：如果∠α＋∠β＝90°，那么∠α与∠β互为__余角__，反过来也成立．
②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为__补角__，即其中一个角是另一个的补角，用几何语言表示，如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β互为__补角__，反过来也成立．
③a.已知∠α是锐角，则∠α的余角可表示为__90°－∠α__，∠α的补角可表示为__180°－∠α__．若∠α的补角是它的3倍，则∠α＝45°.
b．仿①用几何语言说理的方式说明“等角的补角相等”．
　∠1与∠3互为补角，∠2与∠4互为补角，∠1＝∠2，那么∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2，所以∠3＝∠4，这说明∠1的补角与∠2的补角相等，即等角的补角相等．　
c．对于余角也有类似性质：同角(等角)的余角__相等__．
④∠1与∠2，∠3都互为补角，那么∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3，这说明∠1的补角∠2，∠3相等，即同角的补角相等．
【合作探究】
练习：
1．若∠A＝35°，则∠A的余角等于__55°__，补角等于__145°__．
2．如果∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，那么∠1__＝__∠3，理由是__同角的余角相等__；如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，那么∠2__＝__∠4，理由是__等角的补角相等__．
师生活动：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内同学间相互交流、纠错．
三、典例剖析、运用新知
【自主探究】
学习教材P138“例4”．
a．在课本上完成例4中未完成的画图．
b．例4中，灯塔A在货轮O的南偏东60°方向上，反过来，货轮O在灯塔A的什么方向上？　北偏西60°.　
c．如图，射线OA表示的方向是__北偏西30°__，射线OB表示的方向是__南偏西45°__或__西南方向__，射线OC表示的方向是__南偏东70°__．
【合作探究】
例：如右图，E，D，F在同一条直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2.
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？
(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(3)∠ADC与∠BDE有什么关系？为什么？
　解：(1)互余：∠EDA和∠ADC，∠FDB和∠BDC，∠ADE和∠BDC，∠ADC和∠BDF；
互补：∠EDA和∠ADF，∠EDC和∠CDF，∠EDB和∠BDF.
(2)∠ADC＝∠BDC，∵∠CDE＝∠CDF＝90°，∠1＝∠2，∴∠CDE－∠1＝∠CDF－∠2，∠ADC＝∠BDC.
(3)∠ADF＝∠BDE，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ADB＝∠2＋∠ADB，则∠BDE＝∠ADF.　
师生活动：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内同学间相互交流，纠错．
四、课堂小结、回顾新知
1．让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等．
2．教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评．
五、检测反馈、落实新知
1．120°－α与α－30°的关系是(D)
A．120°－α＜α－30° B．相等
C．互补 D．互余
2．已知∠A是它补角的4倍，那么∠A等于(A)
A．144° B．36° C．90° D．72°
3．一个角的补角这个角的3倍，求这个角的余角．
　解：设这个角的度数为x，根据题意列方程：180°－x＝3x，解得x＝45°.90°－45°＝45°.
答：这个角的余角为45°.　
4．如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？
(2)指出图中所有互余和互补的角．
　解：(1)∵∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE，
∴∠1＝∠AOF＝∠AOC，∠2＝∠BOE＝∠BOC.∴∠1＋∠2＝(∠AOC＋∠BOC)＝×180°＝90°.∴∠1和∠2互余；
(2)互余的角有：∠1和∠2，∠1和∠BOE，∠AOF和∠2，∠AOF和∠BOE；互补的角有：∠AOF和∠BOF，∠1和∠BOF，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠2和∠AOE.　
六、课后作业、巩固新知
(见学生用书)