华师大版数学九年级上册 24.4.3坡度问题 课件(共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级上册 24.4.3坡度问题 课件(共21张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-15 09:04:36 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 坡度问题
华师版版九年级上册数学
1.了解坡度、坡角的概念；（重点）
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
观察与思考
导入新课
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
讲授新课
与坡度、坡角有关的实际问题
一
知识回顾
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.
2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
典例精析
分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B、C 作 AD 的垂线；
垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出；
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，由题意可知
BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
(2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，由计算器可算得 α = 22°.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)；
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β.
练一练
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m).
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
h
α
α
l
)
l
h
)
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
探究归纳
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
h1
α1
l1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
方法归纳
h1
α1
l1
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识.例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
图 1
图 2
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4 (米)，
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
1. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1 米， ， ).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
当堂练习
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离 AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点 A 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长 (精确到 0.1 m)．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 坡度问题
华师版版九年级上册数学
1.了解坡度、坡角的概念；（重点）
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
观察与思考
导入新课
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
讲授新课
与坡度、坡角有关的实际问题
一
知识回顾
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.
2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
典例精析
分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B、C 作 AD 的垂线；
垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出；
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，由题意可知
BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
(2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，由计算器可算得 α = 22°.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)；
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β.
练一练
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m).
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
h
α
α
l
)
l
h
)
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
探究归纳
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
h1
α1
l1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
方法归纳
h1
α1
l1
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识.例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
图 1
图 2
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4 (米)，
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
1. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1 米， ， ).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
当堂练习
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离 AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点 A 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长 (精确到 0.1 m)．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结